Разбиение интервала интегрирования на n частей приводит к возможности рассмотрения площадей криволинейных трапеций на каждом небольшом отрезке
. Учитывая малую величину шага разбиения
, площадь такой фигуры можно считать приближенно равной площади прямоугольника со сторонами
и h (рис.20).
Рис.20. Графическая интерпретация метода прямоугольников |
Y 0 |
0 x 0 =a x 1 x 2…. xixi +1… xn=b |
Y 1 |
Y=F (x) |
X |
Y |
Y 2 |
Yi |
Yi+ 1 |
Yn |
Суммирование значений таких площадей позволяет получить формулу "левых" прямоугольников
Метод трапеций
Замена интеграла
на каждом элементарном участке площадью трапеции с основаниями
и высотой h
приводит после суммирования к следующей формуле
Метод Симпсона (парабол)
Разбиение промежутка на четное число
отрезков позволяет на каждой паре отрезков
заменить подынтегральную функцию параболой
.
Площадь фигуры, ограниченной сверху параболой, считается по формуле
Суммирование таких интегралов (площадей, ограниченных параболами)
|
|
приводит к более точной, чем предыдущие, формуле
Решение
1. Оформите лист Excel следующим образом (рис. 21):
A | B | C | D | E | F | G | |
1 | |||||||
2 | Вычислить интеграл | ||||||
3 | a | b | h | m | Методы: | ||
4 | 0 | 1 | 0,0625 | 16 | прямоугольников | трапеций | Симпсона |
5 | x | f(x) | |||||
6 | 0 | 1 | |||||
7 | 0,125 | 0,06066 | |||||
… | |||||||
22 | 1 | 1,73205 |
Рис. 21. Шапка таблицы
2. Введите формулы:
в ячейку С4: = (B4– A4)/D4;
в ячейку В6: =А4;
в ячейку С6: =КОРЕНЬ(2*В6+1),
определяющие значение подынтегральной функции.
3. Введите формулу
в ячейку B7: =В6+$C$4.
Затем заполните столбец В с помощью маркера автозаполнения.
4. Затем выделите ячейку С6, и проделайте то же самое в столбце С.
Рис. 22. Результаты вычисления интеграла различными способами
5. В ячейки E5, F5 и G5 введите следующие формулы:
E5: = C4*CУММ (С6:С22);
F5: = C4*((C6+C22)/2+CУММ (С6:С21);
G5: = C4/3*((C6+4*(C7+C9+C11+C13+C15+C17+C19+C21)+
2*(С8+c10+c12+c14+c16+c18+c20)+c22).
Результаты вычисления интеграла представлены на рис. 22.
Лабораторная работа №12
Нахождение корней нелинейного уравнения
Задание
Определить все корни уравнения
при a = 1; b = – 5,5; c = – 50; p = 112,5.