(задача Буссинеска, 1885 г.)
Пусть в точке О на горизонтальной плоскости, являющейся поверхностью линейно деформируемого полупространства, простирающегося в бесконечность ниже этой плоскости, приложена вертикальная сосредоточенная сила N. Определим напряжения от действия этой силы в произвольной точке М, положение которой определяется координатами R и b в радиальной системе координат и координатами z и r – в декартовой (рис. 3.3, а). Начало координат расположено в точке О. Будем считать, что в точке М действует напряжение sR, направленное по радиусу к точке О.
Принято, что напряжение sR прямо пропорционально углу b и обратно пропорционально квадрату радиуса:
, (3.5)
где B – некоторый коэффициент, определяемый из условия равновесия.
Для определения неизвестного коэффициента B составим сумму проекций на ось z всех сил, действующих на полушаровую поверхность радиусом R, без учета собственного веса грунта и приравняем ее нулю:
|
|
, (3.6)
где dА – площадь поверхности элементарного шарового пояса, полученного при изменении угла b на величину db (рис. 3.3, б).
dА = 2p(R×sinb)×(R×db). (3.7)
Рис. 3.3. Схема действия сосредоточенной силы на поверхности
линейно-деформируемого полупространства:
а – положение точки М в полупространстве; б – геометрические построения; в - элементарная треугольная призма
Проинтегрировав выражение (3.6), получим значение коэффициента
. (3.8)
Отсюда найдем выражение для напряжения
. (3.9)
Напряжение sR действует на площадку площадью dF, перпендикулярную радиусу. Чтобы найти напряжения, действующие на площадке, параллельной ограничивающей плоскости, и от радиальных координат перейти к декартовым, рассмотрим равновесие элементарной треугольной призмы (рис. 3.3, в). Составим уравнение проекций всех сил на вертикальную ось:
. (3.10)
Отсюда или с учетом (3.9)
. (3.11)
Так как , можно записать
. (3.12)
|
|
Составив уравнения проекций на оси Х и У, аналогично можно записать
, (3.13)
. (3.14)
Получено также выражение для перемещений ограничивающей поверхности
. (3.15)
Здесь – коэффициент линейно деформирмируемого полупространства, Е – модуль деформации, ν – коэффициент Пуассона.
Учитывая, что , вынесем z из-под корня и выразим sz в декартовых координатах:
. (3.16)
Обозначив
,
получим для sz более простое выражение:
. (3.17)
Аналогично можно найти выражения и для других составляющих тензора напряжений. Для коэффициента К составлены таблицы, что облегчает пользование формулой (3.17). Значения коэффициента К приведены в табл. 3.1
Таблица 3.1
Значения коэффициента К
r/z | K | r/z | K | r/z | K |
0,00 | 0,4775 | 0,90 | 0,1083 | 2,30 | 0,0048 |
0,05 | 0,4746 | 1,00 | 0,0844 | 2,40 | 0,0040 |
0,10 | 0,4657 | 1,10 | 0,0658 | 2,.50 | 0,0034 |
0,16 | 0,4482 | 1,20 | 0,0513 | 2,60 | 0,0029 |
0,20 | 0,4329 | 1,40 | 0,0317 | 2,80 | 0,0021 |
0,30 | 0,3849 | 1,50 | 0,0251 | 3,10 | 0,0013 |
0,40 | 0,3294 | 1,60 | 0,0200 | 3,30 | 0,0090 |
0,50 | 0,2733 | 1,70 | 0,0160 | 3,50 | 0,0007 |
0,60 | 0,2214 | 1,90 | 0,0105 | 4,00 | 0,0004 |
0,70 | 0,1762 | 2,00 | 0,0085 | 4,50 | 0,0002 |
0.80 | 0,1386 | 2,10 | 0,0070 | 5,00 | 0,0001 |
Проанализируем распределение напряжений sz в полупространстве. Для этого построим эпюры распределения sz в зависимости от координат z и r (рис. 3.4). Из рис. 3.4, а видно, что при z = 0 напряжение sz стремится к бесконечности, а при z ® ¥ напряжение sz стремится к нулю. Так как бесконечно больших напряжений в грунте быть не может, некоторую область, заштрихованную на рис. 3.4, следует исключить из рассмотрения. Напряжения в точке приложения сосредоточенной силы не могут быть описаны уравнениями Буссинеска.
Рассмотрев распределение напряжений sz в плоскости, находящейся на глубине z от поверхности, увидим, что на линии действия силы при r = 0 напряжение sz имеет максимальное значение, а при r ® ¥ напряжение sz стремится к нулю. Если соединить точки, в которых напряжения одинаковы, получим линий равных сжимающих напряжений (изобары), которые в случае действия одиночной вертикальной силы имеют форму луковицы (рис. 3.4, б).
а) б)
Рис. 3.4. Эпюры распределения сжимающих напряжений sz (а) и линий равных напряжений (б) в полупространстве при действии сосредоточенной силы
Если на поверхности полупространства действует несколько сосредоточенных сил (рис. 3.5), то напряжения в любой точке можно определить как сумму напряжений от отдельных сил, используя принцип суперпозиции:
. (3.18)
Коэффициенты Ki определяются по таблице 3.1 в зависимости от соотношений ri/z для каждой силы.
Пример 3.1
В точке О на поверхности линейно деформируемого полупространства приложена сила N = 35 кН. Построить эпюры напряжений sz в горизонтальной плоскости на глубине z = 2,5 м от поверхности полупространства и в вертикальной плоскости на расстоянии r = 2,5 м от линии действия силы.
Рис. 3.5. Схема действия нескольких сосредоточенных сил
Для построения эпюры напряжений в горизонтальной плоскости, заглубленной от поверхности полупространства на величину z = 2,5 м, сделаем расчеты в табличной форме (табл. 3.2).
|
|
Эпюра распределения напряжений в горизонтальной плоскости представлена на рис. 3.6, а.
Таблица 3.2
Значения напряжения sz в горизонтальной плоскости при z = 2,5 м
r, м | z, м | r /z | K | N/z2, кН/м2 | sz, кПа |
0 | 2,5 | 0 | 0,4775 | 5,6 | 2,67 |
1 | 2,5 | 0,4 | 0,3294 | 5,6 | 1,84 |
2 | 2,5 | 0,8 | 0,1386 | 5,6 | 0,78 |
3 | 2,5 | 1,2 | 0,0513 | 5,6 | 0,29 |
4 | 2,5 | 1,6 | 0,0200 | 5,6 | 0,11 |
5 | 2,5 | 2,0 | 0,0085 | 5,6 | 0,048 |
6 | 2,5 | 2,4 | 0,0040 | 5,6 | 0,022 |
Для построения эпюры напряжений в вертикальной плоскости на расстоянии r = 2,5 м от линии действия силы расчеты приведем в табл. 3.3.
Таблица 3.3
Значения напряжения sz в горизонтальной плоскости при z = 2,5 м
r, м | z, м | r /z | K | N/z2, кН/м2 | sz, кПа |
2,5 | 0 | ∞ | 0 | ∞ | 0 |
2,5 | 1 | 2,500 | 0,0034 | 35,000 | 0,119 |
2,5 | 2 | 1,250 | 0,0540 | 8,750 | 0,473 |
2,5 | 3 | 0,830 | 0,1295 | 3,889 | 0,504 |
2,5 | 4 | 0,625 | 0,2101 | 2,188 | 0,460 |
2,5 | 5 | 0,500 | 0,2733 | 1,400 | 0,383 |
2,5 | 6 | 0,417 | 0,2780 | 0,972 | 0,270 |
Эпюра распределения напряжений в вертикальной плоскости представлена на рис. 3.6, б.
а) б)
Рис. 3.6. Эпюры распределения напряжений sz к примеру 3.1:
а - в горизонтальной плоскости; б - в вертикальной плоскости
Пример 3.2
К горизонтальной поверхности массива грунта в одном створе приложены три вертикальные сосредоточенные силы N 1 = 1200 кН, N 2 = 800 кН, N 3 = 1400 кН (рис. 3.7). Определить величину вертикального напряжения sz от совместного действия сосредоточенных сил в точке М, находящейся на глубине z = 2 м. Расстояния от точки М до осей действия сил: r1 = 1 м, r2 = 2 м, r3 = 4,4 м.
Определим для каждой силы соотношения r/z и соответствующие им коэффициенты К по табл. 3.1: для силы N 1 отношение r1/z = 1/2 = 0,5; К1 = 0,2733; для силы N 2 - r2/z = 2/2 = 1; К2 = 0,0844; для силы N 3 - r3/z = 4,4/2 = 2,2; К3 = 0,0059.
По формуле (3.18) рассчитаем значения напряжения sz:
100,94 кН/м2.
Рис. 3.7. Схема действия сил к примеру 3.2
3.2.2. Определение напряжений от действия местной