Криволинейные интегралы

Задача 56. Найти работу векторного поля  по перемещению точки по винтовой линии (спирали), заданной уравнениями , .

Решение. Требуется вычислить такой интеграл:

или его краткий вид: .

Производные: .

Тогда

 =

Заметим, что  присутствует со знаками + и –, сокращается.

 = , в первом из них применим интегрирование по частям: .

 =

=  = .

Ответ. .

 

Вариант этой задачи для  (домашнее задание).

 =  =  = .

Задача 57. Найти работу векторного поля  по перемещению точки по участку параболы , где .

Решение. Здесь используем формулу для явно заданной кривой:

.

Все , которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде . Очевидно также, что . Итак:

 =  = =

 = .     Ответ. .

Примечание. Можно от явно заданной перейти к параметрически заданной кривой:  и сделать по формуле: 

. 

 

 

Задача 58.   Найти работу векторного поля  по перемещению точки по половине эллипса, заданного параметрически:

, .

Решение. Здесь используем формулу для параметрически заданной кривой: .

При этом учитываем, что . При этом все  и , которые встречаются в записи компонент векторного поля, надо выразить в виде .

 

 =

 =

 =  =  =  =

. Ответ. .

 

В следующих задачах кривые будут замкнутые, и в них будем применять формулу Грина, доказанную на лекции: .

Наиболее удобно её применение именно в тех случаях, когда граница состоит из нескольких частей, ведь работу векторного поля надо было бы отдельно вычислять по каждой части (у которой своё уравнение в плоскости), а двойной интеграл сразу по единой плоской области.

Задача 59. Найти циркуляцию векторного поля  по перемещению точки по границе верхнего полукруга радиуса 1 двумя методами:    А). без формулы Грина. Б). по формуле Грина.

Решение.

Решение А). без формулы Грина. В этом случае нужно для каждого участка - отрезка  и полуокружности  - вычислить работу поля отдельно. Чтобы обход всего контура осуществлялся один раз и против часовой стрелки, надо, чтобы движение по отрезку было слева направо  (при этом , и ), а по полуокружности справа налево, т.е. на ней использовать обычный метод параметрического задания точек: .

По  :  = 0.

По :  =

, во втором интеграле очевидно, подведение под знак дифференциала, а в первом есть несколько путей решения:

1) с помощью замены, учитывая то, что суммарная степень чётна (изучали во 2 семестре).

2) применить формулу понижения степени к каждому из квадратов.

3) использовать то, что  и формулу .

Наиболее оптимальным наверное, здесь будет 3-й путь.

=

=  =  =

 =  =  = .

Решение Б). По формуле Грина.  

Если  то .

Двойной интеграл по полукругу вычисляется с помощью полярных координат, это стандартная задача, которые решали во 2 семестре. Так как полукруг в верхней полуплоскости, то , а радиус 1, . 

 =  =  = 

 =   =  =  = .

Ответ. .