1) Если - постоянная , то , т.е. постоянный множитель можно выносить из-под знака интеграла.
2) , т.е. неопределенный интеграл от суммы (разности) интегралов равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности.
Пример 1.2.
.
Пример 1.3.
.
Пример 1.4.
.
Пример 1.5.
.
Стандартные методы интегрирования
Таблица 2
Стандартные методы интегрирования | |||
метод замены переменной интегрирования | метод разложения | метод интегрирования по частям | |
линейная замена | замена с помощью подстановок | ||
Интегрирование методом замены переменной
Линейная замена
Если , то
1) .
2) .
3) .
В самом деле, сделаем в интеграле замену , тогда по определению дифференциала откуда .
Итак, .
Особенно часто встречаются случаи, когда (случай 2) или (случай 1).
Пример 1.6.
.
Пример 1.7.
.
Пример 1.8.
.
Пример 1.9.
.
Пример 1.10.
.
Пример 1.11.
.
Замена с помощью подстановок
Замена переменной в неопределенном интеграле осуществляется с помощью подстановок двух видов:
|
|
1) где - новая переменная. В этом случае формула замены переменной имеет вид:
;
2) где - новая переменная. Формула замены при такой подстановке имеет вид:
.
Порядок замены переменной:
1) ввести новую переменную с помощью подстановки вида или
2) продифференцировать подстановку из п. 1): или ;
3) выразить все, что стоит под знаком интеграла, через новую переменную и вычислить полученный интеграл;
4) с помощью формулы из п.1) вернуться к старой переменной.
Наиболее часто встречаются подстановки, приведенные в табл. 3.
Таблица 3