Рассмотрим три случая нахождения интеграла от тригонометрических функций (см. табл. 5). Учитывая тип интеграла, выбираем подстановку или формулу, позволяющую вычислить данный интеграл.
Таблица 5
I | , где - рациональная функция | ||||||
1 | 2 | 3 | 4 | ||||
универсальная тригонометрическая подстановка | подстановка , если ,т.е. подынтегральная функция нечетная относительно | подстановка , если ,т.е. подынтегральная функция нечетная относительно | подстановка , если , т.е. подынтегральная функция четная относительно и . | ||||
II | |||||||
1 | 2 | 3 | 4 | ||||
подстановка , если целое положительное нечетное число | подстановка , если целое положительное нечетное число | подстановка , если целое отрицательное четное число | формулы понижения степени если и целые неотрицательные четные числа | ||||
III | |||||||
| |||||||
Замечание 1.3. Для удобства подстановки случая I и II сведены в табл. 6.
Таблица 6
Таблица тригонометрических подстановок
1 | |||||||
2 | |||||||
3 | |||||||
4 |
Пример 1.34.
. Подынтегральная функция рационально зависит от и , поэтому применим подстановку (см. табл. 5 случай I.1). Выражения для , и через возьмем из табл. 6: .
Пример 1.35.
. Перепишем подынтегральное выражение следующим образом: . Легко увидеть, что подынтегральное выражение нечетное относительно . Поэтому применяем подстановку (см. табл. 5 случай I.3). Выражения для , и через возьмем из табл. 6:
.
Пример 1.36.
. Здесь - нечетное число, поэтому далее делаем подстановку (см. табл. 5 случай II.2). Выражения для и через возьмем из табл. 6:
.
Пример 1.37.
. Подынтегральное выражение четно как относительно , так и , поэтому применяем подстановку (см. табл. 5 случай I.4). Выражения для и через возьмем из табл. 5:
.
Пример 1.38.
. Здесь - четные неотрицательные числа. Воспользуемся формулами понижения степени и за счет удвоения угла (см. табл. 5 случай II.4):
.
Пример 1.39.
. Воспользуемся формулой случая III из табл. 5:
.