Интегрирование иррациональных функций

Таблица 7

I	, где - рациональная функция от двух аргументов; - натуральные числа; - постоянные	замена или , откуда и
II	где - рациональная функция; - целыечисла	подстановка , где - наименьшее общее кратное чисел (общий знаменатель дробей ), отсюда .
III	, где - рациональная функция	подстановка		, ,
				, ,
				, ,
IV	Интегралы от биномиальных дифференциалов имеют вид: , где - любые постоянные, не равные нулю; - рациональные числа; - несократимые дроби	целое	, где , , ,
		целое	, ,
		целое	, , ,

Пример 1.40.

. Это случай I из табл. 7. К цели приводит замена . Продифференцируем замену , отсюда . Подставляем:

Пример 1.41.

. Это случай II из табл. 7. Подынтегральная функция является рациональной относительно . Здесь . Наименьшее общее кратное . Следовательно, нужно сделать подстановку :

Поделив числитель на знаменатель «уголком»,

получаем:

Пример 1.42.

. Это случай III из табл. 7. Сделаем замену: :

. Получили интеграл вида . Произведем замену: ;

Пример 1.43.

. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь . Поскольку - целое число, сделаем замену: . Таким образом,

Пример 1.44.

. Это интеграл от биномиального дифференциала (случай IV из табл. 7.). Здесь . Поскольку - целое число, сделаем замену:; ; получим: . Интеграл вычислим как интеграл от рациональной дроби. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби, предварительно разложив на множители знаменатель: . Имеем: , приведем правую часть к общему знаменателю и, отбросив его, получим:

. (12)

Полагая в (12) последовательно и , получим: , откуда . Приравнивая в (12) коэффициенты при , получаем: , подставив в последнее равенство найденные значения и , имеем: . Итак, получаем: