Аксиомы стереометрии
Лекция
1. Предмет стереометрии
2. Аксиомы стереометрии
3. Следствия из аксиом стереометрии
Вопрос 1. Предмет стереометрии
Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.
Из курса планиметрии известно, что плоскость — это множество точек, в котором выполняется система аксиом планиметрии, описывающая свойства точек и прямых.
Аналогично, пространство — это множество точек, в котором выполняется система аксиом стереометрии, описывающая свойства точек, прямых и плоскостей.
Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.
Вопрос 2. Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории.
Система аксиом стереометрии даёт описание свойств пространства и основных его элементов. Понятия «точка», «прямая», «плоскость», «расстояние» принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах. Аксиомы играют для них роль «неявных определений». С другой стороны, понятия «точка», «прямая», «плоскость» имеют наглядный смысл, отражённый на рисунках.
|
|
Изучение пространства приводит к необходимости расширения системы аксиом планиметрии. Система аксиом стереометрии, таким образом, состоит из всех аксиом планиметрии и новой группы аксиом, в которых выражены свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве.
Аксиома R1. В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
Эта аксиома даёт право рассматривать в любой плоскости пространства отрезки, прямые, треугольники, многоугольники, окружности и другие плоские фигуры со всеми их свойствами, которые изучались в планиметрии. Например, если прямая a и не принадлежащая ей точка M лежат в некоторой плоскости α, то в этой плоскости можно провести через точку M прямую, параллельную прямой a, и притом только одну.
Аксиома R2 (аксиома плоскости). Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
На рисунке: плоскость α проходит через точки A, B, C — концы трёх стержней, не принадлежащие одной прямой, а плоскость β проходит через другие концы M, K и P этих стержней, также не принадлежащие одной прямой.
Три точки, принадлежащие одной прямой, называются коллинеарными, а три точки, не принадлежащие одной прямой, — неколлинеарными. Так, три вершины треугольника неколлинеарны, а середины оснований трапеции и точка пересечения её диагоналей коллинеарны. Вообще, все точки одной прямой коллинеарны.
|
|
Плоскость, которая проходит через три точки A, B и C, не принадлежащие одной прямой (C ∉ AB), обозначают символически (ABC); если этой плоскостью является плоскость α, то пишут α = (ABC) или (ABC) = α. (В таком случае также говорят, что три неколлинеарные точки в пространстве определяют плоскость.)
Через любые две точки A и B в пространстве можно провести плоскость α. По аксиоме R 1 в этой плоскости выполняются все аксиомы планиметрии. Согласно одной из этих аксиом через точки A и B можно провести единственную прямую.
Аксиома R3. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в пространстве можно выбрать любое количество точек в этой плоскости, равно как и сколько угодно точек вне её. В случае, если точка A лежит в (принадлежит) плоскости α, то записывают: A ∈ α и говорят, что плоскость α проходит через точку A. Если точка A не принадлежит плоскости α, то записывают: A ∉ α и говорят, что плоскость α не проходит через точку A. На рисунке
плоскость α проходит через точку A, но не проходит через точку B.
Аксиома R4 (аксиома прямой и плоскости). Если прямая проходит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости.
Итак, из аксиомы R 4 следует: (M ∈ α, N ∈ α, MN = a) ⇒ a ⊂ α (рис. 16). При этом также говорят, что плоскость α проходит через прямую a (через прямую MN).
В пространстве прямая может не лежать в данной плоскости, но иметь с этой плоскостью ровно одну общую точку. В этом случае говорят, что прямая и плоскость пересекаются.
Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно одну общую точку, называются пересекающимися.
Если прямая a пересекает плоскость α в точке B то символически записывают: α ∩ a = B или B = a ∩ α.
Существуют ли в пространстве прямые, пересекающие данную плоскость? С одной стороны, ответ очевиден — конечно, существуют; однако посмотрим, каким образом аксиомы позволяют обосновать существование таких прямых.
Прямую, пересекающую данную плоскость α, можно получить следующим образом. На основании аксиомы R 3 выберем произвольную точку A вне плоскости α и произвольную точку B в плоскости α.
Тогда прямая m = AB является искомой: она имеет общую точку B с плоскостью α и не лежит в этой плоскости, так как точка A выбрана вне плоскости α. Значит, прямая AB имеет с плоскостью α единственную общую точку — точку B, а поэтому пересекает плоскость α в точке B. Таким образом, прямые, пересекающие данную плоскость, в пространстве существуют.
Аксиома R5 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плоскости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей есть их общая прямая.
Аксиома R 5 утверждает, что если две плоскости α и β имеют общую точку M, то они имеют некоторую общую прямую a, которая проходит через точку M (рис. 19). Кроме того, из этой аксиомы следует, что у плоскостей α и β нет общих точек вне их общей прямой a. В таком случае говорят, что плоскости α и β пересекаются по прямой a и записывают: α ∩ β = a или a = α ∩ β.
Если мы возьмём две фигуры Ф1 и Ф2, имеющие общие точки и лежащие соответственно в двух различных пересекающихся плоскостях, то все эти общие точки лежат на одной прямой и представляют собой либо отрезок, либо луч, либо отдельные точки, либо всю прямую, либо объединение нескольких отрезков, лучей или точек фигур. Вот почему, например, плоскость, пересекающая грань куба, имеет с этой гранью либо общую точку, либо общий отрезок.
|
|
Определение. Две плоскости, имеющие общую точку (следовательно, общую прямую), называются пересекающимися плоскостями.
Аксиома R6 (аксиома разбиения пространства плоскостью). Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
Проиллюстрируем смысл этой аксиомы.
На рисунке изображена плоскость α. Она разбивает множество всех не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества P и Q, которые не имеют общих точек. Это разбиение обладает следующим свойством: если две точки, например A и B, принадлежат одному и тому же множеству P, то отрезок AB не пересекает плоскость α. Это означает, что точки A и B не разделены плоскостью α. Если же точки, например A и C, принадлежат разным множествам (A ∈ P, C ∈ Q), то отрезок AC пересекает плоскость α. Это означает, что точки A и C разделены плоскостью α.
Всё пространство (в нашем случае) является объединением точечных множеств P, Q и плоскости α. Объединение P ∪ α множества P и плоскости α называется полупространством, ограниченным плоскостью α. Плоскость α, ограничивающая это полупространство, называется его границей. Аналогично, объединение Q ∪ α является также полупространством с границей α.
Таким образом, пространство является объединением двух полупространств, границей каждого из которых является плоскость α. Изменение положения плоскости α влечёт за собой разбиение пространства в объединение новых полупространств.
Аксиома R7 (аксиома расстояния).Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, проходящей через эти точки.
Смысл этой аксиомы состоит в следующем. По аксиоме R 1 в каждой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Следовательно, на каждой плоскости любым двум точкам A и B ставится в соответствие положительное число — расстояние между ними на этой плоскости. Хотя через точки A и B проходят одновременно различные плоскости (смотри рисунок выше), аксиома R 7 утверждает, что расстояние между точками A и B будет одно и то же на каждой из этих плоскостей.
|
|
Расстояние между точками A и B можно обозначить либо AB, либо ρ(A; B), либо | AB | в зависимости от контекста, если речь идёт о длине отрезка AB.
При выбранной единице измерения расстояние между любыми двумя точками выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения длин и частей этой единицы измерения содержится в данном расстоянии. Так как число, выражающее расстояние между точками, зависит от выбранной единицы измерения, то единица измерения длин (см, дм, м и т. д.) пишется после этого числа. Например, если единица измерения длин — см, а численное значение расстояния между точками A и B равно 9, то пишут AB = 9 см. Если же единичный отрезок не имеет названия, то пишут AB = 9, имея в виду AB = 9 ед.