Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.
Несобственные интегралы 1-го рода
Пусть определена на
и интегрируема на любом отрезке вида
. Зафиксируем
и рассмотрим определенный интеграл
.
Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции от
до
называется предел при
определенного интеграла от
до
:
Если
конечный предел
, то несобственный интеграл от
до
называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел
равен
или не существует) – расходящимся.
Геометрический смысл – площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями (см. рис. 8).
Аналогично для функции
, определенной на
по определению
(см. рис. 9).
Свойство линейности.
Если ,
сходятся, то сходятся интегралы
.
Аналогично для .
Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.
Пусть – первообразная для
на
, тогда
Таким образом, сходится
конечный предел первообразной
|
|
Примеры.
,
Рис. 10
Рис. 11
1.
Рис. 12
2.
Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.
Признаки сходимости:
1. Признак сравнения.
Пусть
a. Если сходится, то
также сходится (см. рис. 13).
b. Если расходится, то
также расходится.
2. Предельный признак сравнения:
пусть для
и
при
, т.е.
.
Тогда и
оба сходятся или оба расходятся.
3. Если сходится , то сходится и
(обратное неверно!).
В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы
(a>0).
Примеры.
1. .
при
расходится
исходный интеграл расходится по предельному признаку.
При
;
;
,
;
интеграл сходится по предельному признаку.
3.
Т.к. при
(логарифм растет медленней степенной функции), то
исходный интеграл сходится по признаку сравнения.
.
– сходится
сходится по признаку 3.
Несобственные интегралы 2-го рода
Пусть
непрерывна на
, но не ограничена в левой окрестности точки
. Определенный интеграл
не существует, т.к.
– неограниченная. Рассмотрим
. Т.к.
непрерывна на
, то
– определенный интеграл.
Опр. Несобственным интегралом 2 рода по от функции
, неограниченной в окрестности точки
, называется предел
Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Геометрический смысл:
при – площадь фигуры, ограниченной линиями
(см. рис. 15).
Рис. 15
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
.
– несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой
Рис. 16
Свойство линейности.
|
|
Если ,
сходятся, то сходятся интегралы
.