2020-04-12
90
III. Примеры дифференцирования некоторых функций.
а) у = С, где С – const.
б) у = х.
в) у = х 2.
IV. Производные основных элементарных функций:
;
;
;
частный случай 
;
;
частный случай 
;
;
;
;
;
;
;
;
.
V. Правила дифференцирования.
Пусть функции y=f(x) и y=g(x) дифференцируемы на некотором множестве D. Тогда для всех х из множества D выполнено:
1. Производная суммы двух функций:
;
2. Производная произведения двух функций:
; Следствие. 
.
3. Производная частного двух функций:
;
4. Производная сложной функции (или суперпозиции двух функций):
.
Задание 1. Используя правила дифференцирования частного, выведите формулы для производных функций у = tgx и y=ctgx.
Примеры:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
VI. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
1. Теорема Ферма.
Пусть функция y = f(x)
·
· .
Если функция y = f(x) достигает в
|
|
|
некоторой точке с .
наименьшее или наибольшее значение и в этой точке существует конечная производная, то 
.
2. Теорема Ролля.
Пусть функция y = f(x):
·
·
·
· .
Тогда существует точка с :
.
3. Теорема Лагранжа.
(обобщение теоремы Ролля).
Пусть функция y = f(x):
·
·
· .
Тогда существует точка с :
.
4. Правило Лопиталя.
(раскрытие неопределенностей типа 
или 
при вычислении пределов).
Предел отношения двух бесконечно малых (или бесконечно больших) функций равен пределу отношений их производных, если последний существует, т. е.
математическая запись правила Лопиталя
Примеры:
a) 
=
б) 
=
в) 
=
VII. Исследование функции (основные понятия).
Точка x0 называется точкой локального максимума, если .
.
Тогда f(x0) – .
|
|
|
Точка x0 называется точкой локального минимума, если .
.
Тогда f(x0) – .
Точки локальных минимумов и (или) максимумов
называются
.
Значения функции в этих точках называются
.
Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются .
.
VIII. Основные теоремы, применяемые при исследовании функций.
Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Пусть задана функция y = f(x).
Если на некотором множестве D 
, то функция на множестве D ;
если на некотором множестве D 
, то функция на множестве D .
Необходимое условие существования экстремума.
Если функция y = f(x) определена на отрезке и дифференцируема на интервале и при этом 
: x0 является точкой экстремума, то
.
