Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x=X(t), y=Y(t), z=Z(t), где тогда P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz= [P(t)∙ +Q(t)∙ +R(t) ]dt (2.4)
Пример: вычислить работу векторного поля силы при движении материальной точки вдоль дуги L винтовой линии:
x=Rcost; y=Rsint; z= от
dx=-Rsint dt; dy=Rcost dt; dz=
=
=
Вычислим первый интеграл, используя формулу «интегрирования по частям»:
Вычислим второй интеграл:
Третий интеграл в заданных пределах будет равен нулю.
Тогда
Пример: вычислить работу силового поля вдоль отрезка AB, соединяющего точки A(2;3;4) и B(3;4;5).
Находим каноническое уравнение прямой AB:
Переходим к параметрическому уравнению прямой линии АВ:
,
следовательно, х=t+2; y=t+3; z=t+4, где параметр tA t tB, т.е. 0 t 1, тогда dx=dy=dz=dt и
Пример: вычислите работу силового поля вдоль параболы y=x2 от точки (0;0) до точки (1;1).
т.к. y=x2, то dy=2xdx
Пример: вычислите работу силового поля вдоль контура треугольника ABC, если вершины треугольника имеют координаты: А(1;0;0); B(0;1;0); C(0;0;1).
|
|
Т.к. треугольник ограничен тремя разными прямыми линиями, то работа будет равна сумме работ, совершаемых вдоль отрезков, т.е. А=A1+A2+A3, где А1 – работа, вдоль прямой AB; А2 – работа вдоль ВС; А3 – работа вдоль CA. Вычислим работу вдоль линии AB. Находим канонические и параметрические уравнения всех трех прямых. Найдем каноническое уравнение прямой АВ и соответствующее ему параметрическое уравнение:
;
т.е. x=-t+1; y=t; z=0; dx=-dt; dy=dt; dz=0
Вычислим работу вдоль линии BC. Найдем каноническое уравнение прямой линии ВС и соответствующее параметрическое уравнение прямой:
= = ; = = =t,
тогда x=0; y=-t+1; z=t; dx=0; dy=-dt; dz=dt
Вычислим работу вдоль прямой СА. Найдем каноническое уравнение прямой СА и соответствующее параметрическое уравнение:
;
тогда х=t; y=0; z=-t+1; dx=dt; dy=0; dz = -dt