Если поверхность S задана уравнением , где (x,y), (x,y)- непрерывны в замкнутой области, Dxy- проекция поверхности S на плоскость XOY и функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)- непрерывны на S, то имеет место формула:
Данная формула выражает поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость XOY.
Пример: найти поток векторного поля через внешнюю часть поверхности
Поверхность представляет собой параболоид, обрезанный на высоте , поверхность не замкнутая, проектируется на плоскость XOY в круг радиуса
Рис. 3.9 Рис. 3.8
Т.к. проекция на плоскость XOY – круг, то при вычислении двойного интеграла переходим к полярной системе координат.
Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода по внешней части конуса
, , если , - уравнение верхней части кругового конуса при .
|
|
Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3.5)
Т.к. конус проектируется на плоскость ХOY кругом радиуса , , запишем двойной интеграл в полярной системе координат
.
Учитывая, что нормаль к нижней стороне поверхности составляет тупой угол по отношению к оси OZ, в окончательном ответе должен быть поставлен знак минус, т.е.
3.1.4. Вычисление поверхностных интегралов второго
рода с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.
Теорема. Если функции - непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной замкнутой области V, то имеет место формула: (3.6)
где - заданное векторное поле.
- дивергенция векторного поля
S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Как уже указывалось выше, дивергенция может быть вычислена через скалярное произведение символического вектора (набла - оператор Гамильтона) и вектора поля. Понятие дивергенции (или расходимости векторного поля) дает некоторую количественную характеристику векторному полю в каждой его точке.
(3.7)
Это формула трактует дивергенцию векторного поля в точке M, как объемную плотность потока вектора в данной точке.
Пример: найти поток векторного поля через поверхность S: ,
|
|
Поверхность представляет собой замкнутый при z = 0 и z = 1 цилиндр
рис. 3.10
Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
(при вычислении тройного интеграла используем цилиндрическую систему координат):
Пример: найти поток векторного поля
через внешнюю часть конуса , , ограниченного сверху плоскостью . Поверхность замкнутая. Вычислим дивергенцию векторного поля:
рис. 3.11
Следовательно, , а т.к. по свойствам тройного интеграла, если подынтегральная функция равна единице, то тройной интеграл равен объему заданного тела V, а объем конуса
Следовательно, поток векторного поля
Если в векторном поле дивергенция равна нулю, то такое поле называется соленоидальным. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если в точке М(x,y,z) векторного поля (М) (M)> 0, то такая точка называется источником векторного поля, если (M)< 0, то точка называется стоком векторного поля.
Пример: вычислить поток векторного поля
,
где S - замкнутая поверхность:
Нормаль внешняя.
Поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ; в сечении окружность с центром в начале координат, радиуса R = 1. Цилиндрическая поверхность ограничена плоскостью Z = 0 и наклонной плоскостью .
рис. 3.12 рис. 3.13
Вычислим дивергенцию
Тогда,
Вычислим тройной интеграл в цилиндрической системе координат:
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если
S:
Поверхность является замкнутой сферой радиуса R = 2, с центром в точке (1;0;0), т.к.
Дивергенция векторного поля (М):
Тогда, поверхностный интеграл второго рода, вычисленный по формуле Остроградского-Гаусса примет вид:
т.к. по свойствам тройного интеграла - объему тела, а тело представляет собой сферу, объем которой равен .
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, нормаль внешняя,
если
Поверхность S представляет собой пересечение параболоида с конусом: - параболоид,
- конус ()
Строим проекции поверхности на вертикальную и горизонтальную плоскости.
- верхняя часть конуса.
рис. 3.14 рис. 3.15
Находим радиус окружности, по которой пересекаются две поверхности вращения:
, но , т.е. или
, т.к. то , следовательно .
Тогда и
Вычисляем тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
(Уравнение конуса в цилиндрической системе координат ; уравнение параболоида , т.к. в цилиндрической системе координат).
Формула Стокса
Формула Стокса связывает криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.
Пусть в некоторой области пространства задано поле непрерывно дифференцируемого вектора
= P(x,y,z) +Q(x,y,z) +R(x,y,z)
Выше мы уже определили понятие ротора вектора как векторного произведения символического вектора набла = + + и
вектора поля = P +Q +R
Тогда по формуле Стокса:
(4.1)
Циркуляция вектора по любому замкнутому контуру L равна потоку ротора этого вектора через любую поверхность G, натянутую на контур L.
|
|
Предполагается, что ориентация нормали к поверхности G согласована с ориентацией контура L таким образом, чтобы из конца нормали обход контура в выбранном направлении был виден совершающимся против часовой стрелки. Формулу Стокса можно трактовать как обобщение формулы Грина для пространственного случая. В координатной форме формула Стокса имеет вид:
Формула Стокса позволяет вычислять криволинейные интегралы второго рода по замкнутым контурам с помощью поверхностных интегралов второго рода.
Пример: вычислить циркуляцию вектора y +x2 –z по контуру
L: x2 +y2 =4 при z=3; вычисления провести двумя способами:
а) непосредственно; б) по формуле Стокса.
x2 +y2 =4 – круговой цилиндр, радиуса R=2 с образующей, параллельной оси OZ. Контур L - окружность, лежащая в плоскости z=3.
Выберем ориентацию дуги L как указано на рис.4.1.
а) Параметрические уравнения линии L:
x= 2cos t; y=2sint; z=3; 0 ≤ t ≤ 2π
dx= -2sint dt; dy= 2cost dt; dz=0
Вычисляем криволинейный интеграл второго рода. Тогда:
б) Вычисления по формуле Стокса начнем с определения ротора векторного поля:
Вектор нормали к плоскости z=3 (0;0;1)
Тогда, по формуле Стокса:
При вычислении интеграла воспользовались полярными координатами (x=ρcos , y =ρsin якобиан равен ρ).
Пример: найти циркуляцию векторного поля y +z +x по окружности, получающейся при пересечении сферы x2+y2+z2=1, наклонной плоскостью x+y+z=0, нормаль направлена в сторону положительной оси ОХ. Плоскость x+y+z=0 полностью определяется своей нормалью ,
длина нормали = , тогда единичная нормаль, сонаправленная с данной имеет координаты .
Вычислим ротор векторного поля в соответствии с формулой (2.7):
Вычислим скалярное произведение ротора вектора поля и единичной нормали:
Следовательно, по формуле Стокса (4.1):
Приложения.
Варианты индивидуальных заданий.
Вариант № 1.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
|
|
L: ломаная ABCD, AC // OX, CD // OX, DB // OY.
A (0, 1, 2), B (1, -1, 3)
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
Поверхность замкнутая, нормаль внешняя.
Вариант № 2.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
От точки M (2, 0) до точки N (0, 0).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали.
Вариант № 3.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур, полученный пересечением поверхности
координатными плоскостями.
3) Вычислить поток векторного поля через заданную замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 4.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в сторону внешней нормали.
Вариант № 5.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , вырезаемая плоскостями
, нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.
Вариант № 6.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: от точки M (3, 0) до точки N (-3, 0).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении:
S: часть поверхности , вырезаемая плоскостью
P: , нормаль внешняя.
Вариант № 7.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: контур треугольника ABC, где вершины треугольника имеют следующие координаты A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть плоскости , расположенная в 1 октанте, нормаль положительная.
Вариант № 8.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: , от точки M , до точки N
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
Вариант № 9.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , вырезанная плоскостями:
нормаль внешняя по отношению к замкнутой поверхности.
Вариант № 10.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , отсекается плоскостями
, нормаль внешняя.
Вариант № 11.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью
, нормаль внешняя.
Вариант № 12.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: отрезок AB, соединяющий точки A (1, 2, -2) и B (-2, 1, 4).
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в указанном направлении.
S: часть поверхности , отсекаемая плоскостью
, нормаль внешняя.
Вариант № 13.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур x2+(y-1)2=1, обход в положительном направлении.
3) Вычислить поток векторного поля через часть плоскости S: x/3 +y +2z=1 расположенную в первом октанте, в направлении внешней нормали.
Вариант № 14.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: x2+y2+z2=4, z = 1, (y≥0)
от точки M(√3;0;1) до точки N (-√3;0;1).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали.
S:
Вариант № 15.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: замкнутый контур
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S
S: нормаль внешняя.
Вариант № 16.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L.
L: контур треугольника, ограниченного осями координат и прямой
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S
S: , нормаль внешняя
Вариант № 17.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: замкнутый контур (обход из точки 0(0,0,0) виден совершающимся против часовой стрелки).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 18.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: контур треугольника OAB, где O(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,2).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 19.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: x2+y2=1, (y≥0) от точки M(1;0) до точки N (-1;0).
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 20.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: , 0≤t≤2
3) Вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 21.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):
L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 22.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (контур замкнутый):
L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность (первый октант) в направлении внешней нормали:
S:
Вариант № 23.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L (замкнутый контур):
L:
3) Вычислить поток векторного поля через заданную поверхность в направлении внешней нормали
S:
Вариант № 24.
1) Вычислить потенциальную функцию векторного поля.
2) Вычислить работу векторного поля силы Ғ(М) при движении материальной точки по заданному пути L:
L: , 0≤t≤2
3) Вычислить поток векторного поля через поверхность S в направлении внешней нормали:
S: часть плоскости ,
находящаяся в I октанте.
Эллипсоид
Гиперболоид однополостный