y''+py'+qy=f(x),где p и q – const
f(x) неоднородное,
– общее решение неоднородного
f(x)=0 однородное – общее решение соответствующего однородного
=
+
где
– любое решение неоднородного уравнения
Общее решение однородного уравнения
y''+py'+qy=0
– характеристическое уравнение
1)
2)
3)k=
Примеры. Найти общее решение линейного однородного уравнения
1)
Шаг 1: составляем характеристическое уравнение:
Шаг 2: находим корни характеристического уравнения:
=3,
=4. Здесь
, случай 1,
Шаг 3: выписываем решение, формула (5).
2)
Здесь ,
=
= -5, случай 2,
находим по формуле (6)
3)
Здесь случай 3, ,
, для
выбираем формулу (7)
4)
=0,
=4,
, случай 1), формула (5).
5)
=2,
= -2,
, случай 1), формула (5).
6)
,
Здесь случай 3, ,
, формула (7)
Метод неопределенных коэффициентов определения
1) f(x)=
l=
– многочлен той же степени, что и
, но с неопределенными коэффициентами.
2) f(x)=
l=
Замечание 1. – частный случай
первого типа при
.
|
|
(А – постоянная величина) – частный случай
первого типа, здесь
=А – многочлен нулевой степени.
Замечание 2. Как записывается .
Обозначим неопределенные коэффициенты А, В, С, … Тогда ,
,
,
,…
7) а) Найти общее решение уравнения y''-2y'= (
-x-3)
1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-2y'=0.
-2k=0 k(k-2)=0
=0
=2
=
+ C2e2x=
+ C2e2x
2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8)
f(x)= (
-x-3),
= 1
.
-x-3=
(x)
(x)
=
(x)=
(A
+Bx+C).
=
(A
+Bx+C)+
(2Ax+B)=
(A
+Bx+C+2Ax+B)
=
(A
+Bx+C+2Ax+B)+
(2Ax+B+2A)=
(A
+Bx+C+4Ax+2B+2A)
Подставляем и
в левую часть исходного уравнения, общий множитель ex выносим за скобки
(A
+Bx+C+4Ax+2B+2A-2A
-2Bx-2C-4Ax-2B)=
(
-x-3)
Многочлен в левой части распишем по степеням x
(A-2A)+x(B+4A-2B-4A)+C+2B+2A-2C-2B=
-x-3
Два многочлена могут быть равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левойчасти, получаем систему линейных уравнений для определения A, B и C
Итак, =
(-
+x+1)
=
+
=
+C2e2x +
(-
+x+1).
б)Найти частное решение исходного уравнения yчастн, удовлетворяющее заданным начальным условиям
y(0)=2
+
+1=2
+
=1
=2
+
(-
+x+1)+
(-2x+1)
y'(0)=2 2
+1+1=2
2
=0
=0
=1;
=1+
(-
+x+1)
Примеры.
1)Найти общее решение уравнения y''- 4y'+4y=3 e2x
1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+4y=0.
-4k+4= 0
=
=2
=(
x+ C2) e2x
2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8)
f(x)=3 e2x , =2=k1=k2
l=2 3=P0(x)
Q0(x)=A
= Ax2e2x
= 2 e2x A
+2Ax e2x = e2x (2A
+2Ax)
=2 e2x (2A
+ 2Ax)+ e2x (4Ax+2A)= e2x (4A
+8Ax+2A)
|
|
Подставляем и
в левую часть исходного уравнения, общий множитель e2x выносим за скобки
e2x (4A +8Ax+2A-8A
-8Ax+ 4Ax2)= 3e2x
Многочлен в левой части распишем по степеням x
(4A-8A+4A)+x(8A-8A)+2A=3
2A=3, A=1.5
Итак, =1.5x2e2x;
=
+
=(
x+C2) e2x +1.5x2e2x
2)Найти общее решение уравнения y''- 4y'+8y=sin2x
1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+8y=0.
-4k+8=0 k=
,
=2,
,
=(
cos2x+ C2sin2x) e2x
2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (9)
f(x)=sin 2x, =0
=2,
+i
=2i
l=0
= x0(Acos2x+Bsin2x)= Acos2x+Bsin2x,
= -2Asin2x+2Bcos2x,
= -4Acos2x-4Bsin2x,
Подставляем и
в левую часть исходного уравнения
-4Acos2x-4Bsin2x+8Asin2x-8Bcos2x+8Acos2x+8Bsin2x=sin2x
Cos2x(4A-8B)+sin2x(8A+4B)=sin2x
Равенства вида Mcos x+Nsin
x= Pcos
x+Qsin
x имеют место тогда и только тогда, когда коэффициенты при cos
x и sin
x слева и справа соответственно равны, то есть
Таким образом, коэффициенты A и B – решения системы уравнений
A=0.1, B=0.05
=
+
=(
cos2x+ C2sin2x) e2x+0.1cos2x+0.05sin2x
3)y''-2y'= (
-x-3)
y''-2y'=0 -2k=0 k(k-2)=0
=0
=2
=
+
=
+
f(x)= (
-x-3) M=1
(x)
(x)
=
(x)=
(A
+Bx+C)
=
(A
+Bx+C)+
(2Ax+B)=
(A
+Bx+C+2Ax+B)
=
(A
+Bx+C+2Ax+B)+
(2Ax+B+2A)=
(A
+Bx+C+4Ax+2B+2A)
(A
+Bx+C+4Ax+2B+2A-2A
-2Bx-2C-4Ax-2B)=
(
-x-3)
(A-2A)+x(B+4A-2B-4A)+C+2B+2A-2C-2B=
-x-3
=
(-
+x+1)
=
+
=
+
+
(-
+x+1)
y(0)=2 =
+
+1
+
=1
=2
+
(-
+x+1)+
(-2x+1)
y’(0)=2 2=2
+1+1
2
=0
=0
=1
=1+
(-
+x+1)
4)y”+9y=37
+9=0
=-9
=
=
(
+
)=
+
f(x)= 37 M=-1 V=3 M+iV=-1+3i
l=0
=
(Acos3x+Bsin3x)=
(Acos3x+Bsin3x)=
(Acos3x+Bsin3x)
’=-
(-Acos3x-Bsin3x-3Asin3x+3Bcos3x)+
(3Asin3x-3Bcos3x-9Acos3x-9Bsin3x)=-9Acos3x-9Bsin3x)
(-8Acos3x-8Bsin3x+6Asin3x-6Bcos3x+9Acos3x+9Bsin3x)= 37
cos3x(A-6B)+sin3x(B+6A)= 37
A=1 B=-6
=-
(cos3x-6sin3x)
=
+
=
cos3x+
sin3x+
(cos3x-6sin3x)
5) Найти общее решение уравнения
Характеристическое уравнение имеет вид , его корни
= -1,
= -2. Здесь
, случай 1, решение однородного уравнения выписывается по формуле (5):
– правая часть третьего типа,
определяется формулой (10).
Здесь и
,
не является корнем характеристического уравнения
.
– многочлен первой степени (m=1).
– многочлен нулевой степени (n=1).
В формуле (10)
,
,
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь
+
+
+
Отсюда получаем систему линейных уравнений относительно
Решая эту систему, найдем ,
,
,
и частное решение
запишется так:
.
Общее решение данного уравнения
+
.
6) Проинтегрировать уравнение .
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
.
Характеристическое уравнение имеет корни
Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой
.
Переходим к отысканию частного решения исходного уравнения.
Так как в данном случае (т.е. имеет вид
где
,
) и
не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде
.
Найдя производные этой функции
и
,
и подставляя выражения для ,
в исходное уравнение, получаем
.
Так как - решение уравнения, то последнее равенство выполняется для всех
, т.е. является тождеством:
откуда . Следовательно, частное решение имеет вид
.
Соответственно, общее решение
.
7) Решить уравнение
Составим характеристическое уравнение для соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения:
Общее решение однородного уравнения:
Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения в виде:
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Подставляя в исходное уравнение, получаем:
Частное решение имеет вид:
Общее решение линейного неоднородного уравнения:
8) Решить уравнение
Правую часть дифференциального уравнения представим в виде суммы двух функций f1(x) + f2(x) = x + (- sin x).
Составим и решим характеристическое уравнение:
1. Для функции f1 (x) решение ищем в виде .
Получаем: Т.е.
Итого:
2. Для функции f2 (x) решение ищем в виде: .
Анализируя функцию f2 (x), получаем:
Таким образом,
Итого:
Т.е. искомое частное решение имеет вид:
|
|
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения: