Векторный магнитный потенциал
Уровнения векторного потенциала.
В соответствии с основной теоремой векторного анализа, соленоидальное магнитное поле (d ) обладает векторным магнитным потенциалом А, который вводится условием . При этом условие соленоидальности магнитного поля выполняется само собой
(d ). Что бы поле A определялось однозначно, необходимо задать его дивергенцию. Сделать это нужно так, что бы не нарушались уравнения электрического поля. Если магнитное поле создано постоянными токами и постоянными магнитами, неподвижными в пространстве, то можно положить:
(Во всяком случае приемлемость этого простейшего ограничения на нужно проверить.)
Теперь закон Ампера (полного тока) приводит к выводу, векторный магнитный потенциал подчиняется векторному уравнению Пуассона. Действительно, . Согласно известной формуле векторного анализа
а из условия (12) следует, что . |
Таким образом
(13) |
Это уравнение является сокращённой записью трёх скалярных уравнений:
Снаружи проводников, по которым протекают магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
Фундаментальное решение уравнения (13) представляется виде объёмного векторного потенциала:
Это сокращённая запись трёх скалярных объёмных потенциалов
Интегрирование выполняется по объёму проводников с током. Точка нулевого потенциала находится на бесконечности.
Векторный потенциал плоскопараллельного магнитного поля.
Рассмотрим магнитное поле длинного прямолинейного провода с током i, который направлен вдоль оси OZ. Магнитная индукция легко определяется по закону Ампера (полного тока)
в цилиндрической системе координат. Так как и имеет только азимутальную составляющую то
, |
Следовательно, A имеет только аксиальную компоненту .
Таким образом, ,
(14)
Значение логарифмического потенциала A зависит от точки выбора нулевого потенциала [тот же результат получается, если воспользоваться формулой (10):
Магнитное поле длинного магнитного провода с поперечным сечением S можно рассчитать,
применив принцип наложения. Разобьём провод на нити, параллельные оси Oz и несущие ток
После перехода к пределу интегральная сумма превращается в интеграл по поперечному сечению провода
Здесь