Дано комплексное число Требуется:
Задание 1.1. Записать число а в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
Задание 1.2. Найти все корни уравнения и изобразить их на комплексной плоскости.
Решение:
Теоретический минимум
Назовем комплексным числом упорядоченную пару действительных чисел, т.е. если то – комплексное число.
Действительная часть комплексного числа z обозначается , мнимая часть числа z и обозначается .
Существует три формы записи комплексных чисел.
Алгебраическая форма комплексного числа
– алгебраическая форма комплексного числа.
Операции над комплексными числами в алгебраической форме:
1) .
2)
3)
Тригонометрическая форма комплексного числа
, где – модуль числа , – аргумент числа , т.е. любое решение системы уравнений
и обозначается символом . Модуль комплексного числа есть число неотрицательное и определяется однозначно.
Аргумент комплексного числа , определяемый только в радианах, имеет бесконечное множество своих значений.
|
|
Они отличаются друг от друга на .Значение , удовлетворяющее условию: называют главным значением аргумента числа .
Множество всех значений аргумента можно записать так: .Если 0, то
Операции над комплексными числами в тригонометрической форме
1. Умножение комплексных чисел
2.Деление комплексных чисел
3. Возведение комплексного числа в целую положительную степень
Если , то
При равенство примет вид: .
Эта формула носит название формулы Муавра.
4. Извлечение корня
.
Формула определяет бесконечное множество значений корня ой степени из . И только из них различные.
Полагая , получаем различных значений корня .Геометрическая интерпретация: – различные значения корня – вершины правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом .