Характеристикой среднего значения случайной величины является математическое ожидание.
Математическим ожиданием M(x) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее значений на их вероятности.
M(X) = a = x1p1 + x2p2 + … + xnpn = (3.2.1).
Математическое ожидание обладает следующими свойствами.
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
M(c) = c.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
M(kX) = kM(X).
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
M(X ± Y) = M(X) ± M(Y).
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
M(XY) = M(X) M(Y).
5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания (X – M(X)) равно нулю:
M(X – M(X)) = 0.
3.2.1. Найти математическое ожидание случайной величины Z = 2 X – 3 Y + 5, если M(X) = 2, M(Y) = - 3.
Решение. Используя свойства математического ожидания, найдем:
|
|
M(Z) = 2 M(X) – 3 M(Y) + 5 = 2 2 – 3 (-3) + 5 = 18.
3.2.2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения
-2 | 1 | x3 |
0,2 | p2 | 0,4 |
А также известно, что M(X) = 2. Найти p2 и x3.
Решение. Очевидно, что p2 = 0,4, так как сумма вероятностей равна 1. По определению M(X) = -2 0,2 + 1 0,4 + x3 0,4 = 2. Тогда x3 = 5.
Характеристикой рассеяния возможных значений случайной величины относительно математического ожидания является дисперсия.
Дисперсией D(X) случайной величины X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2 (3.2.2).
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M(X2) – [M(X)]2 (3.2.3).
Дисперсия обладает следующими свойствами.
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
D(c) = 0.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:
D(kX) = k2D(X).
3. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D(X ± Y) = D(X) + D(Y).
Наряду с дисперсией в качестве показателя рассеяния случайной величины используют среднее квадратическое отклонение , определяемое по формуле
(3.2.4).
3.2.3. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Z = 5 X – 2 Y + 3, если X и Y – независимые случайные величины и D(X) = 4, D(Y) = 11.
Решение. Используя свойства дисперсии, найдем D(Z) = 25 D(X) + 4 D(Y) + 0 = 25 4 + 4 11 = 144 и .
|
|
3.2.4. Бросают 10 игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
Решение: пусть Xi – число очков, выпавших на i -той грани, . Очевидно, что величины Xi одинаково распределены.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Xi:
и M(Xi) = .
Обозначим X – сумма числа очков. Тогда X = X1 + X2 + … + X10.
M(X) = M(X1) + M(X2) + … + M(X10) = M(Xi) = .