Фазовым называют транспарант, который определённым образом изменяет фазу падающей на него волны. Рассмотрим два частных случая фазовых транспарантов – линейный и квадратичный.
Дифракция Фраунгофера на линейном фазовом транспаранте.
Физической реализацией линейного фазового транспаранта является оптический клин (рис. 7.38). Пусть на оптический клин с показателем преломления , малым углом
при вершине и размером 2a падает по нормали к поверхности плоская волна с амплитудой
. Без учёта отражения и преломления излучения в клине поле U
на выходе из транспаранта имеет вид:
, (7.64)
где
(7.65)
– оптическая длина хода участка волнового фронта волны с координатой .
Рис. 7.38 Линейный фазовый транспарант
С учётом (7.64) и (7.65) дифракционный интеграл Фраунгофера имеет вид:
(7.66)
где
– фаза, зависящая от параметров клина. Обозначим множитель перед интегралом (7.66), получим
где
Последние равенства означают, что поле, дифрагированное на линейном фазовом транспаранте с точностью до постоянной совпадает с полем при дифракции на щели шириной 2 а, однако смещено на величину
|
|
к основанию клина. Этот результат полностью совпадает с известным положением геометрической оптики, согласно которому луч, падающий на клин с малым углом при вершине, отклоняется к основанию на угол
.
Дифракция Френеля на квадратичном фазовом транспаранте.
Физической реализацией такого транспаранта является линза. На рисунке 7.39 представлена линза с показателем преломления n и радиусами и
. Определим оптическую длину луча, идущего на высоте
.
,
где .
Рис. 7.39 Линза как квадратичный фазовый транспарант
Здесь – толщина линзы на оси;
– стрелки прогиба.
При условии , и
с точностью до квадратичных членов по
.
.
Следовательно
,
где ,
— оптическая сила линзы.
Рассмотрим задачу определения поля, сформированного линзой (рис. 7.40).
Рис. 7.40 Дифракция Френеля на квадратичном транспаранте
Пусть в плоскости задано распределение поля
. Тогда из (19) получим, что распределение поля в плоскости
будет равно
(7.67)
где .
Рассмотрим задачу в одномерном приближении, тогда (7.67) принимает вид:
. (7.68)
Здесь учтено, что в приближении Френеля
Поле после линзы с учётом изменения фазы
(7.69)
|
|
где .
Поле в плоскости по аналогии с (7.68) имеет вид:
(7.70)
Подставляя в (7.70) последовательно (7.69) и (7.68) получаем
(7.71)
где — постоянный коэффициент.
Интеграл по табличный, поэтому после интегрирования по
можно получить значения поля
в любой точке.
Потребуем, чтобы плоскости и
были оптически сопряжёнными, т.е. выполнялось соотношение:
. Тогда (7.71) принимает вид:
(7.72)
При этом учтено, что
Используя фильтрующее свойство δ-функции:
,
из (7.72) получаем
.
Последнее выражение показывает, что поле в плоскости подобно полю в плоскости
с коэффициентом подобия
, равным линейному увеличению линзы. В двумерном случае поля в оптически сопряжённых плоскостях с точностью до константы C связаны соотношением:
. (7.73)
Аналогичным образом связаны между собой интенсивности света в этих плоскостях:
.
(7.74)
Соотношения (7.73) и (7.74) дают возможность определять поля и их интенсивности в оптически сопряжённых плоскостях оптической системы. Например, если линза преобразует лазерный пучок излучения, а плоскости и
являются оптически сопряжёнными, то распределение интенсивностей света в них определяется соотношением (7.74).
Задачи и примеры
Задача1. Рассчитать фазовую бинарную пластинку Френеля радиуса , изготовленную из стекла с показателем преломления
, проецирующую точечный монохроматический
источник света Po, находящийся на расстоянии -
от пластинки в точку P, находящуюся от неё на расстоянии
.
В ходе расчёта найти:
— общее число зон Френеля;
— радиус отдельной j -ой зоны Френеля;
— глубину травления четных зон бинарной фазовой пластинки;
— наименьшую ширину зоны Френеля.
Решение
Общее число N зон Френеля найдем из условия: ,
где и
– стрелки прогиба радиусов
и
на радиусе r пластинки. С учётом формулы (7.15), получаем:
.
Отсюда
,
где — оптическая сила зонной пластинки.
Отсюда можно определить радиус отдельной зоны Френеля
,
где j=1,2,…N.
Глубина травления h должна обеспечивать скачок фазы на π или разность хода для соседних зон, т.е.
. Отсюда
.
Площадь каждой зоны Френеля одинакова, т.е. не зависит от номера зоны. Действительно
Наименьшую ширину
имеет, следовательно, последняя N -ая зона. Она определяется из условия:
.
Отсюда
.
Задача 2. С помощью дифракционного интеграла Френеля определить интенсивность излучения на оси отверстия радиуса r=a, освещаемого плоской волной (рис. 7.9). Длина волны -
. Показать, что максимумы функции
совпадают с точками zi, в которых в отверстии укладывается нечётное число зон Френеля.
Решение
Дифракционный интеграл в приближении Френеля имеет вид:
В точке Р на оси отверстия x=y=0 и после перехода к полярной системе координат интеграл принимает вид:
Интенсивность в точке Р:
,
где .
Из последнего выражения следует, что в точках
а) , где m=1, 2, 3….,
,
а в точках
б) , где m=1, 2, 3….,
.
Условию а) отвечают, очевидно, точки на оси с координатами , из которых в отверстии наблюдается чётное, а условию б) нечётное число зон Френеля.
Задача 3 Показать, что если отверстие радиуса а из задачи 2 заменить непрозрачным кругом того же радиуса, то интенсивность в центре геометрической тени будет равна I0.
Решение. Поле в точке Р в отсутствие экранов и диафрагм равно
При наличии экрана по принципу Бабине имеем: ,
|
|
где – поле в точке Р от отверстия. С учётом формулы (1) получаем
Интенсивность в точке Р: .
Задача 4. Определить поле, дифрагированное на транспаранте (рис. 7.41), в области Фраунгофера (дальняя зона дифракции) при освещении его плоской волной с амплитудой U0. Определить интенсивность дифрагированного света. Амплитудное пропускание транспаранта описывается функцией: .
Рис.7.41 К задаче 4
Решение. Искомое поле в плоскости, отстоящей от транспаранта на расстояние z, определяем по принципу суперпозиции следующим образом:
,
где
,
,
.
После подстановки исходных данных и преобразований получим:
,
где .
Интенсивность дифрагированного света
,
где .
Отметим, что в центре дифракционного кружка (x=0, y=0) интенсивность света равна нулю.
Задача 5. Показать, что при дифракции света на амплитудной решётке с параметрами интенсивность всех чётных максимумов равна нулю.
Решение. Интенсивность света при дифракции на решётке равна , где
,
.
Здесь ,
.
Положение главных максимумов функции определяется соотношением:
то есть
где
. Для чётных максимумов
имеем:
и тогда
. Поскольку
, то
, следовательно интенсивность всех четных максимумов равна нулю.
Задача 6 Отражательная дифракционная решётка размером L=100 мм освещается по нормали ( = 0). Решётка работает в 3-ем порядке (m=3) при угле блеска
б = 30°. Спектральный диапазон
= 500...700 нм. Определить параметры
N и характеристики
и
решётки, при которых для средней длины волны
ср = 600 нм. разрешающая способность R = 3
104
Решение: Разрешающая способность решётки , откуда спектральный предел разрешения
= 0.02 нм. Угловая дисперсия
. Кроме того, имеем
, отсюда
.
Поскольку , отсюда
мкм.
Угол блеска определяется выражением:
d(sin б + sin
) =
, отсюда при
= 0
sin б =
=
= 0,18;
б = 10,4°, т.к.
б =
,
Вопросы для самоконтроля
1. Сформулируйте принцип Гюйгенса-Френеля.
2. Чем отличаются амплитудная и фазовая зонные пластинки Френеля?
3. Что такое дальняя зона дифракции?
|
|
4. Что такое оптическое приближение в дифракционном интеграле Кирхгофа?
5. Как определяются области дифракции Френеля и Фраунгофера?
6. Как изменяются поле и его интенсивность в области дифракции Фраунгофера при смещении транспаранта?
7. Напишите основное уравнение дифракционной решётки. Что оно определяет?
8. Чем отличаются спектры синусоидальной и дискретной дифракционных решёток?
9. Что такое амплитудный и фазовый транспаранты?
10. Какова особенность дифракции света на линейном фазовом транспаранте?
11. Квадратичный фазовый транспарант; его реализация. Особенность дифракции на этом транспаранте.
12. Сформулируйте принцип Бабине.
[*] вектор сферической волны, исходящей из точки P0 равен
. В скалярной теории дифракции обозначения векторов и член
опускают.
[†] Ниже при рассмотрении теории дифракции Кирхгофа будет получено строгое выражение для углового коэффициента .