1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
Бесконечно малые(б.м.) и бесконечно большие(б.б.) функции.
Функция называется бесконечно малой (б.м.) функцией в точке (или при ), если .
Аналогично определяются бесконечно малые функции при , , , , .
· | - б.м. при |
· Алгебраическая сумма и произведение конечного числа б.м. при а также произведение б.м. на ограниченную величину являются бесконечно малыми функциями при .
Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.) функцией в точке (или при ), если .
Аналогично
Сравнение б. м. и б. б. функции.
Деление одной б.м. на другую может привести к различным результатам.
Пусть функции , - б.м. при ; - числа. Тогда:
б.м. более высокого порядка малости, чем б.м. . | ||||
и - эквивалентные б.м. | ||||
В некоторой окрестности | б.м. не высшего порядка малости, чем б.м. | |||
и - б.м. одного порядка. | ||||
б.м. ого порядка относительно . |
Для бесконечно больших функций имеют место аналогичные правила сравнения.
|
|
В каждом из этих определений точка может быть как конечной, так и бесконечной.
Бесконечно малыми порядка при называются функции того же порядка малости, что и функции при .
Бесконечно большими порядка , экспоненциального порядка при называются функции того же порядка, что и функции .
· | ||
· , - б.м. при | при | |
· , - б.м. при | при |
Некоторые примеры сравнения б. м. и б. б. функций.
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
Эквивалентные б.м.
Если бесконечно малая при , то имеют место следующие эквивалентности:
Непрерывность функции.
Функция называется непрерывной в точке , если .
.
· Для непрерывной функции знаки функции и предела можно переставлять местами.
.
· Функции непрерывна в точке тогда и только тогда, когда ее приращение в этой точке является б.м. при б.м. приращении аргумента
. |
Арифметические действия над непрерывными функциями.
· Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда функции также непрерывны в точке .