2020-04-20
98
Фізичні величини, які виражаються одним числом, називають скалярами. Величини, які характеризуються не тільки чисельним значенням, але й напрямком, називають векторами. Величини, значення та напрямки яких змінюються в багатовимірному просторі, називають тензорами. Тензорне числення - найбільш загальний вигляд математичних перетворень. З точки зору тензорного аналізу скаляри представляють собою тензори нульового рангу, вектори - тензори першого рангу. Величина, що змінюється в тривимірному просторі (вздовж трьох координатних осей), являє собою тензор другого рангу. Якщо величина змінюється не тільки по трьох напрямках, але залежить ще від часу, вона описується тензором третього рангу і т.д. З геометричної точки зору тензор другого рангу описує поверхню другого порядку. Оскільки напружений стан описується поверхнею другого порядку, воно являє собою симетричний тензор другого рангу. Симетрія тензора обумовлена законом парності дотичних напружень. У просторі тензор другого рангу описується трьома повними напругами або дев'ятьма їх компонентами - трьома компонентами нормальних і шістьма компонентами дотичних напружень. Тому таблиця в параграфі 3.2.1 представляє собою симетричний тензор другого рангу, який позначимо так
|
|
|
Тσ = 
(19)
Внаслідок симетрії можна використовувати спрощену форму запису
Тσ = 
(19,а)
Точки в тензорі (19, а) мається на увазі значення попарно рівних один одному дотичних напружень, але ніяк не нулі.
У головній системі координат тензор для тієї ж точки запишеться у вигляді
Тσ = 
(19,б)
З тензорами можна проводити різні математичні операції, в тому числі звичайні. Для складання двох тензорів необхідно скласти компоненти, що займають однакові позиції (з урахуванням їх знака), при множенні тензора на скаляр на нього множать всі компоненти тензора, при множенні двох тензорів перемножують їх компоненти, які стоять на однакових позиціях. Перераховані дії справедливі для тензорів одного і того ж рангу. Більш складні операції з тензорами в даному курсі не використовуються.
