Зміна форми тіла завжди починається з пружною деформаціэю. Зовнішні сили, прикладені до тіла, роблять певну роботу, зміщуючи атоми з положень стійкої рівноваги. Ця робота накопичується в металі у вигляді потенційної енергії, яка повертає атоми в вихідні положення після зняття навантаження. Розглянемо величину затрачуваної при пружній деформації енергії (роботи).
Нехай одиничний об'єм, ребра якого дорівнюють одиниці довжини, знаходиться в напруженому стані. Сили, що діють на його грані, чисельно рівні головним нормальним напруженням (якщо розглядається головна система координат). Так, якщо F1 - площа грані 1, то сила вздовж осі 1 Q1=σ1F1=σ1x1x1=σ1. Робота сили Q1А1=0,5Q1Δl. Тут Δl - шлях, пройдений силою Q1, а коефіцієнт 0,5 прийнятий тому, що сила Q1 зростає від нуля до даного значення по прямій, і робота дорівнює площі трикутника 0АB на рис.26. Оскільки відносне подовження по осі 1 складає ε1=Δl/l0 =Δl/1, то чисельно ε1=Δl. Отже, робота переміщення межі 1 уздовж осі 1 чисельно дорівнює А1= 0,5σ1ε1. Аналогічний вираз отримаємо і для розрахунку роботи напружень по інших осях. У загальному випадку пружний потенціал (вся витрачена на деформацію робота) складає в тензорному вигляді
|
|
А = 0,5ТσТε, (94)
або в розгорнутому вигляді
А = 0.5(σ1ε1 + σ2ε2 + σ3ε3). (95)
Теоретично елементарний об'єм (або тіло) може витримувати будь-які гідростатичні (кульові) напруги, не змінюючи своєї форми, якщо девіатор напруг дорівнює нулю. Зміна форми настає тільки внаслідок дії девіаторной схеми напруг. Отже, для визначення енергії (роботи) формозміни потрібно з пружного потенціалу А відняти роботу, що витрачається на пружну зміну об’єму Аоб. Воно визначається добутком кульового тензора напружень на кульовий тензор деформацій
Аоб = 0.5 Т°σТ°ε. (96)
Вираження (96) у розвернутому вигляді
Аоб = 0.5(σсрεср + σсрεср + σсрεср). (97)
Висловимо компоненти деформацій у формулі (97) через компоненти напружень, використовуючи узагальнений закон пружності (78)
А = (1/2Е){σ1[σ1 – μ(σ2 + σ3)] + σ1[σ2 – μ(σ3 + σ1)] + σ1[σ3 – μ(σ1 + σ2)] } =
= (1/2Е)[(σ12 + σ22 + σ32) - 2μ(σ12 + σ22 + σ32)].
Для визначення Аоб зауважимо, що εср = (1/3)(ε1 + ε2 + ε3) =
= (1/3Е)[σ1 – μ(σ2 + σ3) + σ2 – μ(σ3 + σ1) + σ3 – μ(σ1 + σ2)],
а σср = (1/3)(σ1 + σ2 + σ3).
|
|
Отже,
Аоб = (3/2)(1/3Е)(1/3)(σ1 + σ2 + σ3)[(σ1 + σ2 + σ3) - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)] =
= (1/6Е) (σ1 + σ2 + σ3)[(σ1 + σ2 + σ3)2 - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)2].
Питома потенційна енергія формозміни Аф визначиться як різниця повної роботи деформації А і роботи пружного зміни об’єму Аоб:
Аф = А - Аоб = (1/2Е)[σ12 + σ22 + σ32 - 2μ(σ1σ2 + σ2σ3 + σ3σ1)] –
- (1/6E)[(σ1 + σ2 + σ3)2 - 2μ(σ1 + σ2 + σ3)2] =
= (1/6E)(3σ12 + 3σ22 + 3σ32 - 6μσ1σ2 - 6μσ2σ3 - 6μσ3σ1 –
- σ12 - σ22 - σ32 - 2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1 + 2μσ12 + 2μσ22 + 2μσ32 +
+ 4μσ1σ2 + 4μσ2σ3 + 4μσ3σ1 =
= (1/6E)[(2σ12 + 2σ22 + 2σ32 - 2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1) + μ(2σ12 + 2σ22 + 2σ32 -
-2σ1σ2 - 2σ2σ3 - 2σ3σ1)].
Отримуємо
Аф = [(1 + μ)/6Е][(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2].
Для лінійного напруженого стану σ2=σ3=0, і робота формозміни для цього випадку Аф лин =[(1+μ)/6Е]σ12. При пластичній деформації σ1=σт і Афлин=[(1+μ)/6Е]σт2. Оскільки накопичена в тілі енергія не залежить від схеми напруженого стану, вона повинна бути однією і тією ж для забезпечення пластичної деформації, тобто Аф лин = Аф
[(1 + μ)/6Е][(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2] = [(1 + μ)/6Е]σт2
Після скорочення на [(1+μ)/6Е] і добування кореня з лівої і правої частини маємо в лівій частині інтенсивність напружень
(1/ )[(σ1 – σ2)2 + (σ2 – σ3)2 + (σ3 – σ1)2]0,5 = σт, тобто умова Губера-Мізеса (93). Отже, цю умову можна трактувати так: пластичний стан в точці тіла настає тоді, коли біля точки буде накопичено певну кількість потенційної енергії, постійне для даного металу (сплаву) у даних умовах деформації (ступеня і швидкості деформації і температури, мікроструктури) незалежно від схеми напруженого стану. Тому умова (93) відображає енергетичний зміст рівняння пластичності. Особливості деформації конкретного сплаву в кожному випадку характеризуються експериментально визначається величиною σт.