Повна робота завжди мінімальна для даних умов деформації. Найбільш часто вона являє собою суму робіт внутрішніх опорів (роботу деформації Ад) і роботи сил тертя Аt. Для елементарного об'єму робота Аt - це добуток напружень тертя на відповідні їм зміщення за всієї контактної поверхні, робота Ад - це добуток компонент деформацій на компоненти напружень. Компоненти деформацій являють собою перші похідні зсувів за координатами. Таким чином, обидва доданки, і, отже, повна робота є функціями зсувів.
У варіаційної постановці фізична величина (наприклад, робота), що залежить від однієї або декількох інших функцій (наприклад, зсувів), називається функціоналом. Вирішити варіаційну задачу - означає знайти такі значення вихідних функцій, в даному випадку зсувів, які повідомляють функціоналу екстремальне (мінімальне або максимальне) значення. Задача вирішується таким чином. Вибирається сімейство безперервних диференційовних кривих, які не суперечать функціоналу. З цього сімейства необхідно вибрати криву, що забезпечує екстремум функціоналу. Таку функцію називають екстремаллю.
|
|
Для знаходження екстремалу обрану функцію безперервно змінюють (варіюють), додаючи до неї іншу довільну функцію, значення якої множать на нескінченно малу величину. Варіація δ - довільна нескінченно мала величина, за допомогою якої змінюється вихідна функція і відповідно значення функціоналу. Як і при аналізі функції на екстремум похідна в точці екстремуму дорівнює нулю, так і у випадку, коли варіація дорівнює нулю, вихідна функція стає екстремаллю. Отже, для знаходження екстремуму функціонала його варіацію необхідно прирівняти нулю.
Варіації роботи зовнішніх сил рівні
δАв.с = (Xδux + Yδuy + Zδuz)dF = δ (Xux + Yuy + Zuz)dF. (153)
Знак варіації можна винести за знак інтеграла, як це робиться і для знака похідної та отримати повну варіацію роботи зовнішніх сил.
Варіація роботи внутрішніх опорів
δАд = σт δεidV = σтδ εidV. (154)
Якщо тіло перебуває в рівновазі, то сума робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил дорівнює нулю на будь-якій системі можливих зсувів (принцип можливих зсувів Лагранжа). Такими можливими зсувами є варіації зсувів δux, δuy, δuz (їх іноді називають віртуальними зміщеннями). Залежно від умов деформації деякі зсуви є жорстко заданими; в цьому випадку вони не варіюються. Саме вибором оптимальних зсувів досягається мінімум роботи деформації в процесах пластичноъ формозміни.
Враховуючи різний знак робіт зовнішніх і внутрішніх сил, маємо
δ[ (Xux + Yuy + Zuz)dF - σт εidV] = 0. (154)
|
|
Величина, що стоїть у квадратних дужках, являє собою повну роботу деформації. Рівність нулю її варіації відповідає умові її мінімуму. Отже, фізичний зміст рівняння (154) полягає в тому, що дійсна рівновага тіла відрізняється від усіх можливих тим, що повідомляє повній роботі (енергії) деформації мінімальне значення.
Рівняння (154) можна використовувати в дещо іншому вигляді, замінюючи напругу плинності σт опором зрушення k, а інтенсивність деформації εі - інтенсивністю деформації зсуву γі, так як γи , так як σтεи =kγи :
δ[ (Xux + Yuy + Zuz)dF - k γи dV] = 0. (155)
Вирішити рівняння (154) або (155) - означає знайти таку залежність зміщень від координат, яка забезпечить мінімум повної енергії деформації (екстремали).
Можливе рішення варіаційного рівняння і в залежності від варіації напруг. Можна уявити функції всіх компонент напружень як суму істинних напружень та їх варіацій і перетворити рівняння (154) до виду, що відображає принцип мінімуму додаткової роботи деформації (принцип Кастельяно)
δ[ (Xux + Yuy + Zuz)dF - (1/E) σи dV] = 0. (156)
Рішення рівняння (156) означає знаходження такого напруженого стану, якому відповідає умова нерозривності деформації (див. розділ 3.4.2).
Якщо в наведених у даному розділі формулах замінити зміщення швидкостями зміщень, а деформації - швидкостями деформації, то рішення буде виражено через потужність пластичної деформації.