1. Расстояние между прямым и –
а) длина их общего перпендикуляра.
A
прямым .
– расстояние между прямыми
B
б). длина перпендикуляра, опущенного из точки, лежащей на одной прямой до плоскости, которая параллельна этой прямой, и в которой лежит вторая прямая (т.е. находим расстояние от точки до плоскости методом объемов)
|
|
,
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
если , то -расстояние от точки А
А до прямой
H
Метод площадей: составить площадь треугольника двумя разными способами.
Что бы найти расстояние от точки до прямой надо на прямой выбрать две точки и получить треугольник, в котором искомый перпендикуляр будет высотой. Найти площадь этого треугольника любым возможным способом и из формулы найти искомое
Треугольник может быть равносторонний
прямоугольный
равнобедренный
разносторонний ,
Пример. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки А до прямой
Рассмотрим
,
1 H Проведем высоту
( =
A B ( =
1 C
Ответ:
2. Расстояние от точки до плоскости – это длина перпендикуляра, опущенный из точки на плоскость.
|
|
А
если , то -расстояние от точки А
до плоскости
H
Метод объемов: составить объем пирамиды двумя разными способами.
Что бы найти расстояние от точки до плоскости, надо на плоскости выбрать три точки и получить пирамиду, в котором искомый перпендикуляр будет высотой. Найти объем этой пирамиды любым возможным способом и из формулы найти искомое
Пример. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD все ребра равны по 1. Н айти расстояние от вершины D до плоскости SA
.
Ответ:
Тренажер 1.5.1. Расстояние между фигурами.
1. В кубе .найти расстояние от точки В до прямой D
2. В правильной треугольной призме ABC все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой А .
3. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние от точки В до прямой .
4. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой .
5. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние от точки В до прямой .
6. В кубе найти расстояние от точки до плоскости
7. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние от точки А до плоскости SDE.
8. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 1, а боковое ребро равно 2. Найти расстояние между прямыми SB и AF.
9. В правильной четырехугольной пирамиде все стороны равны 1. Найти расстояние между прямыми
10. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найти расстояние между прямыми
Тема 1.6. Практическая стереометрия
1). Площади поверхности и объемы подобных тел.
конусы подобны
2). Зависимость площади поверхности и объема от стороны или радиуса
В сфере:
если радиус сферы увеличивается в К раз, то площадь поверхности сферы увеличивается в К2 раза, а объем (вес) увеличивается в К3 раз.
В правильном тетраэдре и кубе:
если сторона увеличивается в К раз, то площадь боковой и полной поверхности увеличивается в К2 раза, объем (вес) увеличивается в К3раз
3). Воду переливают из одного цилиндрического сосуда в другой.
Если при постоянном объеме жидкости радиус основания цилиндра увеличивается в К раз, то площадь основания цилиндра увеличивается в К2 раза, при этом высота должна уменьшится тоже в раза
4). Зависимость площади поверхности конуса и цилиндра от радиуса основания и высоты
Площадь боковой поверхности от всех элементов зависит линейно, а объем от высоты зависит линейно, а от радиуса квадратично
В цилиндре и конусе при увеличении (или уменьшении) радиуса основания, или высоты, или образующей в раз площадь боковой поверхности увеличивается (или уменьшается)в раз.
При увеличении (или уменьшении) высоты в К раз объем увеличивается (или уменьшается) в К раз, а при увеличении (или уменьшении) радиуса основания в К раз объем увеличивается (или уменьшается) в раз.
Пример. Объем цилиндре равен 12, а площадь боковой поверхности равна 9 Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту уменьшили в 3 раза. Найти объем и площадь боковой поверхности получившегося цилиндра.
5). Объемы цилиндра и конуса, имеющих одинаковые радиусы основания и высоты.
6). Объем детали, опущенной в воду равен объему вытесненной жидкости
|
|
- первоначальный объем воды
- объем вытесненной жидкости (объем детали)
1 способ
7 ). Объемы частей призмы
Сравнить объемы призмы и пирамиды , осекаемой от призмы плоскостью, проходящей через точки