2020-04-20
110
Расширим табл.1, включив в нее, кроме производительных затрат xik, затраты труда, капиталовложений и т.д. по каждой отрасли. Эти новые источники затрат впишутся в таблицу как новые n+1-я, n+2-я и т.д. дополнительные строки.
Обозначим затраты труда в k-ю отрасль через xn+1,k, и затраты капиталовложений – через xn+2,k (где k = 1, 2, …, n). Подобно тому как вводились прямые затраты aik,
xn+1,k
введем в рассмотрение коэффициенты прямых затрат труда an+1,k = ––––– , и
xk
xn+2,k
капиталовложений an+2,k = –––––, представляющих собой расход соответствующего
xk
ресурса на единицу продукции, выпускаемую k-й отраслью. Включив эти коэффициенты в структурную матрицу (т.е. дописав их в виде дополнительных строк), получим прямоугольную матрицу коэффициентов прямых затрат:
a11 a12 … a1k … a1n
a21 a22 … a2k … a2n основная часть матрицы
…………………………………
А' = ai1 ai2 … aik … ain
…………………………………
an1 an2 … ank … ann
an+1,1 an+1,2 … an+1,k … an+1,n
an+2,1 an+2,2 … an+2,k … an+2,n дополнительные строки
При решение балансовых уравнений по-прежнему используется лишь основная часть матрицы (структурная матрица А). Однако при расчете на планируемый период затрат труда или капиталовложений, необходимых для выпуска данного конечного продукта, принимают участие дополнительные строки.
Так, пусть, например, производится единица продукта 1-й отрасли, т.е.
_ 1
У = 0
:
0 .
Для этого требуется валовый выпуск продукции
S11
_ _ S21
x = S1 =:
Sn1
Подсчитаем необходимые при этом затраты труда Sn+1,1. Очевидно, исходя из смысла коэффициентов an+1,k прямых затрат труда как затрат на единицу продукции k-й отрасли и величин S11, S12, …, S1n, характеризующих сколько единиц продукции необходимо выпустить в каждой отрасли, получим затраты труда непосредственно в 1-ю отрасль как an+1,1S11, во 2-ю – an+1,2S21 и т.д., наконец в n-ю отрасль an+1,nSn1. Суммарные затраты труда, связанные с производством единицы конечного продукта 1-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,1 = an+1,1S11 + an+1,2S21 + … + an+1,nSn1 = an+1S1,
т.е. равны скалярному произведению (n+1)-й строки расширенной матрицы А', которую обозначим an+1, на 1-й столбец матрицы S.
Суммарные затраты труда, необходимые для производства конечного продукта k-й отрасли, составят:
_ _
Sn+1,k = an+1Sk (13)
Назовем эти величины коэффициентами полных затрат труда. Повторив все приведенные рассуждения при расчете необходимых капиталовложений, придем аналогично предыдущему к коэффициентам полных затрат капиталовложений:
_ _
Sn+2,k = an+2Sk (14)
Теперь можно дополнить матриц S строками, состоящими из элементов Sn+1,k и Sn+2,k, образовать расширенную матрицу коэффициентов полных затрат:
S11 S12 … S1k … S1n матрица коэффициентов
S21 S22 … S2k … S2n полных внутрипроизводст.
………………………………… затрат
S' = Si1 Si2 … Sik … Sin
………………………………… (15)
Sn1 Sn2 … Snk … Snn
Sn+1,1 Sn+1,2 … Sn+1,k … Sn+1,n дополнительные строки
Sn+2,1 Sn+2,2 … Sn+2,k … Sn+2,n
Пользуясь этой матрицей можно рассчитать при любом заданном ассортиментном векторе У не только необходимый валовый выпуск продукции х (для чего используется матрица S), но и необходимые суммарные затраты труда xn+1, капиталовложений xn+2 и т.д., обеспечивающих выпуск данной конечной продукции У.
Очевидно,
xn+1 = Sn+1,1y1 + Sn+1,2y2 + … + Sn+1,nyn , (16)
xn+2 = Sn+2,1y1 + Sn+2,2y2 + … + Sn+2,nyn ,
т.е. суммарное количество труда и капиталовложений, необходимых для обеспечения ассортиментного вектора конечной продукции У, равны скалярным произведениям соответствующих дополнительных строк матрицы S' вектор У.
Наконец, объединяя формулу (7) с формулами (16), приходим к следующей компактной форме:
x1
x2
_ : _
x = xn = S'У (17)
xn+1
xn+2
Пусть дополнительно к данным, помещенным в табл.2, известны по итогам исполнения баланса фактические затраты труда xn+1,k (в тыс. человеко-часов) и капиталовложений xn+2,k (в тыс. руб.), которые записаны в табл.3
Переходя к коэффициентам прямых затрат aik, получим расширенную матрицу:
0.2 0.4
А' = 0.55 0.1
0.5 0.2
1.5 2.0
Таблица 3
№ отраслей потребление итого конечный валовый
№ затрат продукт выпуск
отраслей 1 2
1 100 160 260 240 500
2 275 40 315 85 400
труд 250 80 330
капиталовложе- 750 800 1550
ния
Обратная матрица S = (E - A)-1 была уже подсчитана в предыдущем пункте.
На основании (13) рассчитаем коэффициенты полных затрат труда (Sn+1,k=S3,k ):
_ _
S31 = a3·S1 = 0.5 · 1.8 + 0.2 · 1.1 = 1.12;
_ _
S32 = a3·S2 = 0.5 · 0.8 + 0.2 · 1.6 = 0.72
и капиталовложений Sn+2,k = S4,k:
_ _
S41 = a4·S1 = 1.5 · 1.8 + 2.0 · 1.1 = 4.9;
_ _
S42 = a4·S2 = 1.5 · 0.8 + 2.0 · 1.6 = 4.4.
Таким образом, расширенная матрица S' коэффициентов полных затрат примет вид:
1.8 0.8
S' = 1.1 1.6
1.12 0.72
4.9 4.4
Если задаться на планируемый период прежним ассортиментным вектором
У = 240, то рассчитав по формулам (16) суммарные затраты труда xn+1 и
85
капиталовложений xn+2, получили бы xn+1 = x3 = 1,12 · 240 + 0.72 · 85 = 268.8 + 61.2 = 330 тыс. чел.-ч. и xn+2 = xn = 4.9 · 240 + 4.4 · 85 = 1176 + 374 = 1550 тыс.руб., что совпадает с исходными данными табл.3.
Однако в отличие от табл.3, где эти суммарные затраты группируются по отраслям
(250 и 80 или 750 и 800), здесь они распределены по видам конечной продукции: на продукцию 1-й отрасли 268.8 и на продукцию 2-й отрасли 61.2; соответственно затраты капиталовложений составляют 1176 и 374.
При любом новом значении ассортиментного вектора У все показатели плана, такие, как валовая продукция каждой отрасли и суммарные расходы трудовых ресурсов и капиталовложений найдем из формулы (17).
Так, пусть задан ассортиментный вектор У = 480. Тогда
170
_ х1 1.8 0.8 1000
х = х2 = 1.1 1.6 480 = 800
х3 1.12 0.72 170 600
х4 4.9 4.4 3100
Отсюда заключаем, что запланированный выпуск конечного продукта У может быть достигнут при валовом выпуске 1-й и 2-й отраслей: х1=1000 и х2=800, при суммарных затратах труда х3=660 тыс. чел.-ч. и при затратах капиталовложений х4=3100 тыс.руб.
Рассмотренные теоретические вопросы и примеры расчета, конечно, далеко не исчерпывают важную для практики область балансовых исследований. Здесь проиллюстрировано только одно направление приложения линейной алгебры в экономических исследованиях.
Задача
В таблице указаны расходные нормы двух видов сырья и топлива на единицу продукции соответствующего цеха, трудоемкость продукции в человеко-часах на единицу продукции, стоимость единицы соответствующего материала и оплата за 1 чел.-ч.
Таблица
Нормы расхода
Обозначения Стоимость
I II III
Сырье I 1.4 2.4 0.8 a4 5
Сырье II – 0.6 1.6 a5 12
Сырье III 2.0 1.8 2.2 a6 2
Трудоемкость 10 20 20 а7 12
Определить:
а) суммарный расход сырья, топлива и трудовых ресурсов на выполнение производственной программы;
б) коэффициенты прямых затрат сырья, топлива и труда на единицу конечной продукции каждого цеха;
в) расход сырья, топлива и трудовых ресурсов по цехам;
г) производственные затраты по цехам (в руб.) и на всю производственную программу завода;
д) производственные затраты на единицу конечной продукции.
Решение:
а) Суммарный расход сырья I можно получить, умножив соответствующую 1-ю строку второй таблицы на вектор х, т.е.
_ _ 235
а4х = (1.4; 2.4; 0.8) 186 = 1088
397
Аналогично можно получить расход сырья II и т.д.
Все это удобно записать в виде произведения:
1.4 2.4 0.8 235 1088 Сырье I
0 0.6 1.6 186 = 746 Сырье II
2.0 1.8 2.2 397 1678 Топливо
0.1 0.2 0.2 1409 Человеко-часов.
б) Расход сырья I на единицу конечной продукции 1-го цеха (у1=1) найдем из выражения 1.4S11 + 2.4S21 + 0.8S31. Следовательно, соответствующие коэффициенты полных затрат сырья, топлива и труда на каждую единицу конечного продукта получим из произведения матрицы:
I II III
1.4 2.4 0.8 1.04 0.21 0.02 1.97 2.92 1.36 Сырье I
0 0.6 1.6 0.21 1.05 0.13 = 0.17 0.84 2.09 Сырье II
2.0 1.8 2.2 0.03 0.13 1.26 2.53 2.60 5.23 Топливо
10 20 20 15.2 24.8 28.0 Труд
Таким образом, например, для изготовления у1=1 необходимо затратить 1.97 единиц сырья I, 0.17 единиц сырья II, 2.53 единиц топлива и 15.2 чел.-ч.
в) Расход сырья, топлива и т.д. по каждому из цехов получим из умножения их расходных норм на соответствующие валовые выпуски по цехам. В результате получим матрицу полных расходов:
I II III
Сырье I 330 440 318
Сырье II 0 111 635
Топливо 470 335 873
Труд 2350 3720 7940
г) Производственные расходы по цехам можем получить путем умножения слева строки стоимостей (5; 12; 2; 1.2) на последнюю матрицу:
330 440 318
0 111 635 I II III
(5; 12; 2; 1.2) 470 335 873 = (5410; 8666; 20484)
2350 3720 7940
д) Наконец, производственные затраты на единицу конечной продукции, необходимые для определения себестоимости продукции, можем найти путем умножения слева матрицы полных затрат, найденной в п. б., на строку цен:
1.97 2.92 1.36
0.17 0.84 2.09 I II III
(5; 12; 2; 1.2) 2.53 2.60 5.23 = (35.3; 59.6; 75.7)
15.2 24.8 28.0
Таким образом, внутрипроизводственные затраты на единицу товарной продукции I, II и III цехов соответственно составляют: 35.3 руб., 59.6 руб., 75.7 руб.
