Определение 2. Говорят, что состояние достижимо из состояния , если существует такое , что . Состояния и называются сообщающимися, если они достижимы друг из друга.
Множество состояний C цепи Маркова называется замкнутым, если никакое состояние вне C недостижимо из C. Цепь Маркова называется неразложимой, если каждое ее состояние достижимо из любого другого состояния, т. е. имеется всего одно замкнутое множество состояний.
Определение 3. Состояние имеет период , если , пока n не является кратным d, и – наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Состояние называется непериодическим, если такого не существует.
Пример. Простейшим примером цепи Маркова с периодом 3 является цепь с тремя состояниями, которая описывается матрицей переходов
, , .
Изобразить орграф.
В неразложимой цепи Маркова все ее состояния имеют одинаковый период, в частности, все состояния являются непериодическими.
Вероятность возврата в состояние i равна , где – вероятность возврата в состояние i ровно за n шагов, а среднее время возвращения в состояние i равно .
|
|
Определение 4. Состояние i называется возвратным, если вероятность возвращения в него равна и невозвратным, если . Если для возвратного состояния , то состояние i называется возвратным положительным, а при – возвратным нулевым.
Пример. Для цепи Маркова с матрицей переходов за один шаг (изобразить орграф)
имеем , а .
Возвратное состояние, не являющееся ни нулевым, ни периодическим, называется эргодическим.
Определение 5. Цепь Маркова называется эргодической, если для любых значений существует
, .
Распределение вероятностей в О4 называется предельным (финальным) распределением.
Теорема 1. Если в конечной цепи Маркова в некоторый момент времени n все элементы матрицы положительны, то цепь Маркова эргодическая.
Определение 6. Распределение вероятностей , , называется стационарным распределением цепи Маркова, если для всех j выполняется следующее условие
.
В частности, предельное распределение в определение 5 является стационарным.
Задачи
1. Цепь Маркова имеет матрицу вероятностей перехода
.
Найти замкнутые множества состояний и определить возвратные и невозвратные состояния. Найти периоды периодических состояний.
2. Цепь Маркова задана начальным вектором вероятностей и матрицей вероятностей перехода
.
Найти:
а) распределение по состояниям в момент времени ;
б) вероятность того, что в моменты состояниями цепи будут соответственно ;
в) стационарное распределение.
3. Найти предельное распределение для цепи Маркова с заданной матрицей вероятностей перехода за один шаг:
|
|
а) ;
б) .