Гармонические колебания – это свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавли- вающей силы (рисунок 3.1).
Рисунок 3.1
Pупр = cx
– восстанавливающая сила
(сила упругости); пропорциональна откло- нению материальной точки (тела) от положения статического равновесия (линии 0 - 0), Н;
c – коэффициент пропорциональности (упругости), Н/м;
l 0 – длина недеформированной пружины, м.
Запишем второй закон динамики в векторном виде для данной системы сил:
ma = Pупр + N + G. В проекции на ось x уравнение примет вид:
max = - Pупр
; mx = - cx;
x + c
m
x = 0.
Обозначив
c = k 2, получим однородное линейное дифференциальное
m
уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, называемое дифференциальным уравнением гармонических колебаний:
где
k = – циклическая (круговая) частота собственных колебаний,
(3.1)
c-1.
Величина k показывает, сколько полных колебаний совершит материальная точка (тело) в единицу времени.
Промежуток времени в течение которого материальная точка совершает одно полное колебание называется периодом колебаний (T) – величина обратная циклической частоте, которая определяется по формуле:
|
|
T = 2 p
k
= 2 p
, [ T ]= [с].
Общее решение уравнения (3.1) имеет вид:
x = C 1 cos kt + C 2 sin kt. (3.2)
Чтобы определить значения постоянных
C 1 и
C 2, найдем уравнение,
определяющее скорость точки, продифференцировав уравнение (3.2):
x = - kC 1 sin kt + kC 2 cos kt. (3.3)
Пусть в начальный момент времени
t = 0 точка имеет координату
x 0 и
проекцию скорости на ось x, равную условия в уравнения (3.2) и (3.3), найдем:
x 0. Тогда подставив начальные
C = x; C =.
1 0 2 k
Подставляя значения движения:
C 1 и C 2
в уравнение (3.2), получим уравнение
x = x 0
cos kt + x 0 sin kt. (3.4)
k
Уравнение (3.4) можно записать в более компактном виде, положив
При этом получим:
C 1 = A sin b;
C 2 = A cos b.
или
x = A (sin b × cos kt + cos b × sin kt)
x = A sin (kt + b), (3.5)
где A – амплитуда колебаний, м;
b – начальная фаза колебаний.
Уравнение (3.5) является уравнением гармонического колебательного движения материальной точки.
Амплитуда A и начальная фаза b колебаний зависят как от
начальных условий, (x 0,
u 0) так и от физико-механических свойств
колебательной системы (c, m), и определяются по начальным условиям движения.
Период T и частота k зависят только от физико-механических свойств колебательной системы (c, m).
Уравнение, определяющее скорость, соответственно примет вид:
x = kA cos(kt + b). (3.6)
|
|