Свойства определённого интеграла

Замечание. Свойство 3 справедливо при любом расположении точки с по отношению к а и b при условии интегрируемости функции f (x) на большем из отрезков.

6) Если  для всех , то

7) Если  для всех , то справедлива оценка

8) Теорема (о среднем значении функции на отрезке). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то между точками а и b найдётся точка х = с, такая что

Определение. Средним значением функции  на отрезке [ a,b ] называется величина

Формула Ньютона–Лейбница

Теорема (о производной от интеграла с переменным верхним пределом). Пусть функция  непрерывна на [ a,b ], тогда  производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом равна значению подынтегральной функции на этом верхнем пределе:

Доказательство. Обозначим  Придадим переменной х приращение  тогда  получит приращение   где с – некоторая точка между х и  По определению производной  имеем  причём последнее равенство справедливо ввиду непрерывности функции

Следствие.  первообразная для функции .

Теорема (формула Ньютона–Лейбница). Если функция  непрерывна на отрезке [ a,b ], то справедлива формула

                                   (8)

где  любая первообразная для функции , т.е.,

Доказательство. По следствию из предыдущей теоремы  первообразная для функции . По теореме о первообразной для данной функции любая другая первообразная  отличается от  на постоянное слагаемое:

 При  получим  с другой стороны, по свойству 2 определённого интеграла , следовательно,  и   При  имеем

Пример. Вычислить определённый интеграл

Решение.