Если кривая задана параметрически , и функции имеют непрерывные производные при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от до , вычисляется по формуле:
(14)
Пример. Найти длину дуги кривой
а) б)
Решение.
а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением
, то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (13). Найдём и подставим в (13):
б) Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (14). Найдём : и подставим в (14):
Вычисление объёмов тел вращения
Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объём вычисляется по формуле:
(15)
Рис. 5 | Рис. 6 |
Пример. Найти объём тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:
Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).
Чтобы получить искомый объем тела вращения, из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ: . По формуле (15) найдём и : (ед. объёма);
(ед. объёма);
(ед. объёма).