Определение 6. Произведением вектора на вещественное число
называется вектор
, коллинеарный вектору
, имеющий длину
и сонаправленный с вектором
, если
, и противонаправленный с вектором
, если
. Произведением вектора
на число
обозначается
или
.
На рис. 6 – рис. 9 показаны пары векторы и
,
и
,
и
,
и
Рис. 3. Случай
Рис. 4. Случай
Рис. 5. Случай
Рис. 6. Случай
Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора
на число
:
.
Отметим некоторые свойства умножения вектора на число.
1. – закон коммутативности.
2. – закон ассоциативности.
3. – закон дистрибутивности.
4. – закон дистрибутивности.
Теорема 1. Для коллинеарности векторов и
, необходимо и достаточно существование числа
такого, что выполняется хотя бы одно из равенств
или
.
Сумма векторов
Определение 7. Суммой векторов и
называется вектор
, вычисляемый как диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, имеющая с ними общее начало (рис. 10). Сумма векторов
и
обозначается
.
|
|
Рис. 10
Отметим некоторые свойства суммы векторов.
1. – закон коммутативности.
2. – закон ассоциативности.
3. .
4. .
Разность векторов
Определение 8. Разностью векторов
и
называется вектор, сумма которого с вектором
равна вектору
. Разность
можно определить как сумму вектора
с вектором, противоположным к вектору
:
.
Разность векторов
и
можно вычислить по правилу параллелограмма, как диагональ этого параллелограмма, исходящей из конца вектора
(рис. 11).
Сумма и разность векторов определялись по правилу параллелограмма. Можно эти две операции определить по правилу треугольника. Для определения суммы , следует параллельным переносом начало вектора
совмещать с концом вектора
. Для определения разности
, следует концы этих векторов.
Рис. 11
Числовая ось
Числовой осью (числовой прямой) называется любая прямая, если:
1) на ней выбрана некоторая точка, называемая началом (центром) и обозначаемая ;
2) любое из двух направлений, называемое положительным направлением и обозначаемое стрелкой;
3) некоторый отрезок, называемый единичным отрезком (масштабом).
Каждому вещественному числу на числовой прямой соответствует единственная точка на числовой оси:
1) положительное число изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии
по направлению стрелки;
2) отрицательное число изображается точкой, расположенной на оси на расстоянии
против направления стрелки;
|
|
3) нулевое число изображается началом оси.
Имеет место и обратное соответствие: каждой точке на числовой оси соответствует единственное вещественное число.
Пусть точке числовой оси соответствует число
. Координатой точки
называется число
и обозначается
.
Единичный вектор
Определение 9. Любой вектор, длина которой равна единице, называется единичным вектором.
Пусть задан вектор . Обозначим через
единичный вектор, сонаправленный с вектором
, называемый орт ом этого вектора. Из определения умножения вектора на число следует, что
или
.
Для каждой числовой оси определен единичный вектор
, с началом в точке
(
– центр числовой оси) и концом в точке с координатой
(рис. 12). Направление единичного вектора
совпадает с положительным направлением числовой оси
.
Рис. 12
Угол между векторами
Определение 10. Пусть векторы и
имеют общее начало. Углом между векторами
и
называется наименьший угол
, на который нужно повернуть один из этих векторов до совпадения с другим (рис. 13). Под термином совпадение понимается, что векторы
и
окажутся сонаправленными. Угол между векторами
и
обозначают
.
Из определения вытекает, что угол между произвольными векторами содержится в промежутке:
.
Определение 11. Пусть начало вектора находится в центре числовой оси
. Углом между вектором
и осью
называется угол между вектором
и единичным вектором
оси
(рис. 14).
Рис. 13 Рис. 14