Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные различных порядков. Такое уравнение имеет вид: F (x, y, y', y'' …. y n) = 0
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид F (x, y, y') = 0 или y' = f (x, y).
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
Общим решением дифференциального уравнения 1 - го порядка называется функция , которая зависит от независимой переменной х и от одной произвольной постоянной с и удовлетворяет следующим условиям:
1) удовлетворяет уравнению при любом конкретном значении с;
2) каково бы ни было начальное условие , можно найти такое значение с = с0, что функция удовлетворяет заданному начальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения y' = f (x, y) называется любая функция , которая получается из общего решения , если произвольной постоянной с придать определенное значение с0.
Задача отыскания частного решения, удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:
.
Метод решения: разделим обе части выражения на ,
получим ,
или , или
Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения:
Интегрируем: ,
получаем , , .