Лабораторная работа № 2

Методические рекомендации по выполнению

Лабораторных работ по математике.

 

 

Чебоксары 2019

 

Лабораторная работа № 1

Предмет «Математика»

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Время работы-2 часа

2. Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению действий над матрицами, составлению систем уравнений и их решении

3. Теоретические сведения: Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих 3 и более трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):

Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:

Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:

От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:

Умножив третью строку на , получаем:

Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гасса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:

Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:

Полученной матрице соответствует система

или

Ответ.

4. Оснащение: персональный компьютер

5. Задания:

Вариант 1

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

       А = ,     В = ,   С = (2В)^т + А.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:  

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=1, X₂=3, X₃=2.

Вариант 2

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

       А = , В = , С = А – В^т.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=-1, X₂=2, X₃=-2.

 

Вариант 3

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

       А = , В = , С = 2В – А^т.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=4, X₂=-2, X₃=5.

 

Вариант 4

 

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

       А = , В = , С = 2А^т – В^т.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=-3, X₂=1, X₃=-2.

 

Вариант 5

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

А = , В = , С = А^т + 2В^т.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=-2, X₂=3, X₃=-1.

 

Вариант 6

1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.

А = ,  В = , С = А + (2В)^т.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:

3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X₁=-2, X₂=7, X₃=1.

6. Порядок выполнения работы:

1.Выполнить действия над матрицами аналитически и проверить решение онлайн.

2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса аналитически и проверить решение онлайн.

3. Составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса аналитически и проверить решение онлайн.

 

 

Лабораторная работа № 2

Предмет «Математика»