Передвинем хорду так, чтобы она стала параллельна стороне
(см. рисунок). Заметим, что при таком движении угол
остаётся равен 60°, поскольку он равен полусумме дуг
и
Параллельные прямые отсекают равные дуги, поэтому дуги
и
равны. Углы
и
равны, как вписанные углы, опирающиеся на равные дуги. Таким образом, треугольник
— равнобедренный:
Все углы треугольника равны 60°, следовательно, треугольник
— равносторонний, значит,
Аналогично можно показать, что треугольник
— равносторонний, откуда
Рассмотрим треугольник
По теореме косинусов:
По теореме синусов:
Приведём другое решение.
Рассмотрим треугольник сумма углов треугольника равна 180°:
Углы
и
являются смежными, следовательно,
откуда:
Пусть — радиус описанной окружности, угол
обозначим как
Рассмотрим треугольник
он вписан в окружность, следовательно, по теореме синусов:
Аналогично, из треугольника
Разделим на
Откуда:
|
|
Найдём
Таким образом, радиус описанной окружности равен: