Гипотезы о генеральной дисперсии
Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии
Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией σ2, взята случайная выборка из n независимых наблюдений и вычислена выборочная дисперсия S2.
Требуется проверить нулевую гипотезу H0: σ2 = σ02, где σ02 – определённое заданное значение генеральной дисперсии.
Для проверки нулевой гипотезы используют статистический критерий χ2: , который при выполнении гипотезы H0 имеет распределение χ2 с k = n – 1 степенями свободы.
Как было сказано ранее, в зависимости от конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область.
Границы критической области χкр2 определяют по таблице χ2-распределения Пирсона для заданного уровня значимости α и числе степеней свободы k = n – 1.
Рассмотрим три случая:
1). Если H1: σ2 = σ12 > σ02, то выбирают правостороннюю критическую область и χкр2 находят из условия:
P(χ2 > χкр2(α; n – 1)) = α.
Правило проверки гипотезы заключается в следующем:
1) если χн2 ≤ χкр2, то нулевая гипотеза не отвергается;
2) если χн2 > χкр2, то нулевая гипотеза отвергается.
2). Если H1: σ2 = σ12 ≠ σ02, то строят двустороннюю симметричную критическую область и её границы и находят из условий:
P(χ2 > χкр. лев.2(1 – α / 2; n – 1)) = 1 – α / 2; P(χ2 > χкр. прав.2(α / 2; n – 1)) = α / 2.
Правило проверки гипотезы заключается в следующем:
1) если χкр. лев.2 ≤ χн2 ≤ χкр. прав.2, то гипотеза не отвергается;
2) если χн2 < χкр. лев.2 или χн2 > χкр. прав.2, то гипотеза отвергается.
3). Если H1: σ2 = σ12 < σ02, то строят левостороннюю критическую область и χкр2 находят из условия:
P(χ2 > χкр2(1 – α; n – 1)) = 1 – α.
Правило проверки гипотезы заключается в следующем:
1) если χн2 ≥ χкр2, то гипотеза не отвергается;
2) если χн2 < χкр2, то гипотеза отвергается.
Проверка гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух нормальных совокупностей
Пусть X и Y – генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями σx2 и σy2. Из этих совокупностей взяты две независимые выборки объёмами nx и ny и вычислены исправленные выборочные дисперсии и , причём , где и .
Требуется проверить нулевую гипотезу H0: σx2 = σy2 против конкурирующей гипотезы H1: σx2 > σy2.
Основу для проверки нулевой гипотезы составляет F-критерий: , который при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера –Снедекора (F-распределение) со степенями свободы k1 = nx – 1 и k2 = ny – 1, где k1 – число степеней свободы числителя (большей дисперсии), а k2 – число степеней свободы знаменателя (меньшей дисперсии).
Для проверки гипотезы выбирают правостороннюю критическую область. Границу критической области Fкр. определяют по таблице F- распределения при заданном уровне значимости α и числе степеней свободы k1 = nx – 1 и k2 = ny – 1из условия: P(F > Fкр(α; nx – 1; ny – 1)) = α.
Правило проверки гипотезы заключается в следующем:
1) если Fн ≤ Fкр, то гипотеза не отвергается;
2) если Fн > Fкр, то гипотеза отвергается.
Пример 1. Точность работы автоматической линии проверяют по дисперсии контролируемого признака, которая не должна превышать 0,1 мм2. По результатам выборочного контроля получены следующие данные:
Контролируемый размер, xi, мм | 43,0 | 43,4 | 43,7 | 44,3 | 44,9 |
Частота fi | 3 | 7 | 10 | 8 | 2 |
Требуется проверить при уровне значимости α = 0,01, обеспечивает ли линия требуемую точность.
Решение. Задача состоит в проверке гипотезы о значении генеральной дисперсии H0: σ02 ≤ 0,1. Автоматическая линия не обеспечивает требуемой точности, если H1: σ12 > σ02, следовательно, в данном случае строится правосторонняя критическая область.
Для оценки значения генеральной дисперсии используем критерий χ2. Наблюдаемое значение критерия вычисляем по формуле: , следовательно, по данным вариационного ряда сначала необходимо вычислить выборочную дисперсию, для чего определяем среднюю арифметическую. Составим вспомогательную таблицу:
xi | fi | xi·fi | |||
43,0 | 3 | 129,0 | –0,8 | 0,64 | 1,92 |
43,4 | 7 | 303,8 | –0,4 | 0,16 | 1,12 |
43,7 | 10 | 437,0 | –0,1 | 0,01 | 0,10 |
44,3 | 8 | 354,4 | 0,5 | 0,25 | 2,00 |
44,9 | 2 | 89,8 | 1,1 | 1,21 | 2,42 |
Итого: | 30 | 1314 | 0,3 | 2,27 | 7,56 |
Вычисляем наблюдаемое значение критерия χ2:
По таблице χ2-распределения при заданном уровне значимости α = 0,01 и числе степеней свободы k = n – 1 = 30 – 1 = 29 определяем χкр2 = 49,588.
Сравнивая наблюдаемое и критическое значения критерия, получаем: χн2(=75,6) > χкр2(=49,588), то есть нулевая гипотеза отвергается. Так как генеральная дисперсия не равна 0,1, автоматическая линия не обеспечивает заданную точность и требуется ее регулировка.
Пример 2. По результатам проведения двух независимых случайных выборок объёмом n1 = 11 и n2 = 17, извлечённых из нормальных генеральных совокупностей, получены значения средних квадратических отклонений S1 = 8 и S2 = 6. Проверить при уровне значимости α = 0,05 нулевую гипотезу о равенстве дисперсий генеральных совокупностей H0: σ12 = σ22 при конкурирующей гипотезе H1: σ12 > σ22.
Решение. Вычислим исправленные выборочные дисперсии:
Так как выполнено условие , для проверки нулевой гипотезы можно воспользоваться F-критерием Фишера:
Критическое значение F-критерия находим по таблице распределения Фишера – Снедекора: Fкр (α; n1 – 1; n2 – 1) = Fкр (0,05; 10; 16) = 2,49.
Так как Fн(=1,84) < Fкр(=2,49), то можно сделать вывод, что различия между генеральными дисперсиями двух совокупностей не существенны, нулевая гипотеза не отвергается при 5%-ном уровне значимости.