Вычисления с приближенными числами

Вычисления, сопровождающие измерения, проводят как с точными, так и с приближенными числами. К точным числам относят значения переводных или масштабных множителей, коэффициенты и показатели степени. Приближенные числа получаются в результате измерений, округлений и вычислений. Все цифры в десятичном представлении числа (кроме нулей, стоящих в начале числа) называются значащими (в числе 0,015 - две значащие цифры, в числе 1,50 - три).

Округлением числа называют уменьшение количества значащих цифр числа путем отбрасывания одной или нескольких последних цифр. При округлении последняя сохраняемая цифра остается без изменения, если старшая отбрасываемая цифра меньше 5 (8,62 ® 8,6). Последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу, если отбрасываемая цифра больше или равна 5 (8,67 ® 8,7). Если отбрасывается только цифра 5, то последняя сохраняемая цифра не изменяется, если она четная (8,65 ® 8,6), и увеличивается на единицу, если она нечетная (8,55 ® 8,6). Если после округления последней сохраняемой цифрой окажется нуль, то его надо записывать (8,96 ® 9,0). Например, последовательное округление дает следующий результат: 8,6548 ® 8,655 ® 8,66 ® 8,7 ® 9. Нули, заменившие цифры, отброшенные при округлении в конце числа, не пишут. Их заменяют множителем 10ⁿ   или переходят к кратным единицам измерения: 8,367 ® 8400 ® 8,4 × 10³, 2666 м ® 3000 м ® 3 км.

Разность между округляемым числом и результатом округления составляет погрешность округления. Погрешность округления не превышает половины единицы разряда последней сохраняемой цифры.

Приближенное число содержит верные и сомнительные цифры. Цифра называется верной, если абсолютная погрешность числа составляет менее единицы разряда этой цифры. Все цифры числа, стоящие левее верной, также верны. Цифру, стоящую справа за последней верной цифрой, называют сомнительной цифрой. Цифры, стоящие справа от сомнительной цифры, называются неверными. Неверные цифры отбрасывают путем округления числа. Например, в значении 1,264, полученном для некоторой величины с погрешностью 0,03, верными являются цифры 1 и 2, сомнительной - цифра 6, а неверной - цифра 4.

Верные и сомнительные цифры числа являются значащими цифрами. Для нахождения значащих цифр числа нужно знать его сомнительную цифру, определяемую значением погрешности числа. Если погрешность приближенного числа не указывается (в частности, в математических таблицах и ряде таблиц физических величин), то все цифры этого числа – значащие. В данном случае  предполагается, что величина предельной погрешности равна половине единицы разряда последней цифры этого числа. Например, для табличного значения плотности алюминия r = 2,69 ×10³  кг/ м³

погрешность округления составляет ± 0,005 × 10³  кг/ м³.

 Округление погрешностей и результатов измерений

Неопределенность результата измерения характеризуется указанием

погрешности, определяемой в соответствии с видом измерения.

Числовое значение погрешности всегда определяют не точно, а с некоторой погрешностью. Поэтому не имеет смысла учитывать все цифры, полученные при вычислении погрешности. Однако не следует допускать и

слишком грубого округления. На практике установлены следующие правила округления рассчитанного значения погрешности и полученного результата измерения.

1) Погрешность Dх результата измерения в окончательной записи выражают двумя значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, если первая цифра 3 и более.

При округлении погрешностей последняя сохраняемая цифра всегда увеличивается на единицу, если только старшая отбрасываемая цифра не нуль. Данное правило округления погрешности изменяет ее значение не более чем на 20-30%.

2) Полученную оценку истинного значения измеряемой величины округляют до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение погрешности.

3) Число значащих цифр при округлении относительной погрешности e должно соответствовать числу значащих цифр абсолютной погрешности результата измерения.

Например, при измерении длины получено значение l = 136,2 мм с погрешностью D l = 12,4 мм. Окончательный результат записывают в виде

 l = (1,36 ± 0,13) дм, e = 0,10.

Если  l = 136,2 мм, а D l = 6,5 мм, то окончательный результат имеет вид

 l = (136 ± 7) мм, e = 0,05.