Задачи на оптимизацию

Задача №1.

У фермера есть два поля, каждое площадью 100 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Решение:

Вся площадь: 100 га

Составим функцию полного дохода:

∑(x,k) = 4000000x+3300000kx→наиб

Заметим, что x+kx=100, т.е. x=  где k

∑(k) = + →наиб

∑(k) = →наиб

Возьмём производную этой функции

 =  =

Значит функция убывает во всей области определения, т.е. принимает своё наибольшее значение при k=0. Это означает, что всё первое поле нужно засадить картофелем, при этом доход будет 4000000 рублей

Из второй таблицы видно, что свекла имеет, как большую урожайность, так и большую цену за центнер, следовательно, второе поле нужно засадить свеклой. При этом доход будет 400 11000 рублей

Полный доход составляет 400 млн + 440 млн = 840 млн рублей.