Математическое моделирование функционалов общего вида для задач оптимизации ОТС

Тема 2

Математические модели функционалов ОТС, характеризующие качество ОТС, разрабатываются в ходе создания конкретной системы, соответствующей техническому заданию (ТЗ) рассматриваемого Проекта.   

Для изучения возможных вариантов математических моделей функционалов ОТС рассмотрим проблему проектирования КК для исследования короны Солнца.

Требованиями к космической миссии в ближайшие окрестности Солнца являются рекомендации и ограничения, выдвинутые заказчиками анализируемых космических миссий, - кооперацией институтов РАН.  Основные из них следующие.

- Радиус перигелия финальной орбиты прохождения Солнечным зондом короны Солнца должен быть минимальным.

- Финальная орбита Солнечного зонда должна проходить как можно ближе к полярным областям короны Солнца.

- Масса научной аппаратуры на борту Солнечного зонда должна быть максимальной.

- Продолжительность миссии должна быть минимальной.

 

Кроме того, для нормального функционирования бортовых систем Солнечного зонда система обеспечения теплового режима (СОТР) Солнечного зонда должна поддерживать нормальные тепловые условия в пределах от -20^ОС до +60^ОС в течение всего полета, включая прохождение короны Солнца.

 

Зарубежный и отечественный опыты исследований Солнечной системы автоматическими космическими аппаратами (исследования Луны, Венеры, Марса и др.) показывает, что чаще всего эффективность конкретных космических миссий оценивается по четырем главным (генеральным) критериям:

· Результативность научно-исследовательской миссии;

· Надежность выполнения миссии;

· Суммарная стоимость миссии, включая затраты на: разработку, производство, испытания и эксплуатацию;

· Продолжительность осуществления миссии, включая время на разработку, производство, испытания и эксплуатацию.

 

(2.1)

 

Очевидно, что функционалы будут по-разному зависеть от своих аргументов и функций управления, т.е. будут иметь собственные математические модели. В процессе проектирования выбор конкретных параметров функционалов и управлений осуществляется поэтапно – по уровням иерархической структуры космического комплекса.

Классификация основных факторов синтеза вариантов космического комплекса:

Обозначения: РН- ракета-носитель; ДУ- двигательная установка; ХДУ- химическая ДУ; ЭРДУ- электрореактивная ДУ; ЯЭУ- ядерная энергоустановка; СБ- солнечные батареи.

Каждая из перечисленных выше подсистем комплекса имеет собственные варьируемые в определённых пределах параметры, а также возможные варианты своих внутренних подсистем. Например,

1) Класс и тип ракеты-носителя;

2) Состав и типы разгонных блоков;

3) Варианты баллистической схемы выведения КА из сферы действия Земли;

4) Варианты баллистической схемы межпланетного полета КА в корону Солнца;

5) Состав и количество активных и пассивных гравиманевров КА;

6) Применение движителей малой тяги (электрореактивных, солнечных парусов);

7) Тип, мощность и стратегии (функции) управления движителями малой тяги.

Конкретный облик варианта КК предполагает фиксацию всех указанных факторов. Оптимальный выбор их сочетания строится на основании решения задачи оптимизации по всем заданным критериям.

Рассмотрим последовательность оптимальных решений для одного из указанных критериев согласно иерархии параметров и функций управления. Например, по критерию научной эффективности миссии – J₁.  

Оптимизация научной эффективности миссии.

Принято считать, что численная оценка научной эффективности миссии пропорциональна суммарной массе научной аппаратуры (НА) - m_НА, доставляемой КА к месту проведения основных исследований. То есть, чем больше m_НА, тем выше научная эффективность миссии.

Исходя из иерархии факторов влияний на m_НА

для последующего анализа перечислим их в порядке значимости:

· класс и тип ракеты-носителя;

· состав и типы разгонных блоков;

· баллистическая схема выведения КА из сферы действия Земли;

· баллистической схемы межпланетного полета КА в корону Солнца;

· состав и количество активных и пассивных гравиманевров КА в процессе перелёта;

· тип и характеристики движителей малой тяги (электрореактивных, солнечных парусов);

· стратегии и функции управления движителями малой тяги.

Конкретная связь m_НА со всеми перечисленными параметрами должна осуществляться через математическую модель миссии, построенную с требуемой точностью. 

Если самая сложная траектория полета к Солнцу будет включать в себя N участков, имеющих с точки зрения математического моделирования существенные отличительные особенности (например: полет в различных гравитационных сферах действия небесных тел, движение с включенными электрореактивными двигателями), тогда на каждом i ‑м участке полета его траекторное движение описывается (с требуемой точностью) i ‑ой динамической системой вида:

= f i ( xi, u i, p i, q, t i ), t i Î [toi, tкi ], i = 1, …, N;

(2.2)

где: x ⁱ(t ⁱ ) Î E_ni – вектор фазовых переменных, характеризующий текущее состояние КА на i ‑м участке полета; u ⁱ(t ⁱ ) Î U ⁱ(t ⁱ ) – r_i ‑ мерная кусочно-непрерывная функция управления и p ⁱ Î P ⁱ – варьируемые параметры, являющиеся внутренними факторами на i‑ м участке полета КА; q Î Q – варьируемые внешние факторы, влияющие на всю траекторию полета в целом.

Моменты времени t_кⁱ окончания полета КА на каждом i –ом участке траектории определяются из условий:

m i [ xi (tкi), p i, q, tкi ] = 0, i = 1, …, N;

(2.3)

где: m ⁱ – скалярные функции, обладающие необходимой степенью гладкости.

В моменты времени t _к ⁱ i = 1, …, N производятся преобразования векторов фазового состояния КА при переходе от одной динамической системы (1) к другой, моделирующих движение КА на смежных участках траектории полета:

xi+1(toi+1) = j i [ xi (tкi), p i, q, tкi ],  i = 1, …, N–1;

(2.4)

где: j ⁱ – n_i+1 ‑мерная вектор-функция, обладающая необходимой степенью гладкости.

Все внешние и внутренние факторы, оказывающие существенное влияние на критерии оптимальности миссии, собранные вместе по всем N участкам траектории, образуют расширенные векторы управлений - u (×) и факторов - p (внешних - q и внутренних - p ⁱ):

U(×) = {ui (×), i=1,…,N},  p = {p i, q, to1; i=0,…,N }, p Î P Û {p i Î Pi, i=0,…,N; q Î Q; to1Î[to–, to+]}, u(×) Î U Û {ui (t i ) Î Ui (t i ), " t i Î [toi, tкi], i=1,…,N }.

(2.5)

Качество того или иного сочетания конкретных значений (реализаций) этих варьируемых факторов должно оцениваться, например, по критерию:

- научная эффективность миссии, т.е. m_НА;

В общем случае заданные критерии качества миссии являются интегро-терминальными функционалами факторов p   и u (×), то есть:

Jj [u(×), p] = Фji(xi,ui,pi,q,t i ) dti + Fj[xNj(tкNj),pNj,q,tкNj ],   j = 1, 2, 3, 4;

(2.6)

где: Ф_jⁱ и F_j – гладкие скалярные функции; N_j £ N – номер последнего участка полета, на котором вычисляется терминальная часть j ‑го функционала.

Поскольку любые технические и физические ограничения миссии к Солнцу с математической точки зрения также являются функционалами факторов p   и u (×), то они, в общем случае, могут быть представлены как функциональные ограничения в виде равенств и неравенств:

Jj [u(×), p] = 0,  j = 5, …, m1+ 5; Jj [u(×), p] £ 0,  j = m1+ 6, …, m + 5

(2.7)

Где m - количество ограничений вообще, m₁  - количество ограничений типа равенств.

Таким образом, задача многокритериального выбора оптимального варианта космических миссий для прямых исследований ближайших окрестностей Солнца может быть сформулирована следующим образом:

 найти такие p Î P и u(×) Î U, которые при выполнении условий (2.2)¸(2.5),(2.7) определят выбор оптимального варианта миссии по критериям (2.6).