Критерий устойчивости Михайлова

Это графический критерий. Он предложен в 1938 г. советским ученым А. В. Михайловым и основан на рассмотрении характеристического полинома .

Перейдя в частотную область, подставив  и выделив действительную и мнимую часть, получим комплексную частотную функцию:

Здесь  − действительная часть, полученная из членов , содержащих четные степени оператора р, а  − мнимая часть, полученная из членов  с нечетными степенями р.

Изобразим в виде годографа в комплексной плоскости.

Рассмотрим на примере полинома (12.9):

;

Критерий Михайлова формулируется так: – система устойчива, если годограф D (jω), начинаясь на действительной положительной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, проходя последовательно n квадрантов, где n – порядок системы.

Рис.13.1. Годограф Михайлова D (jω) − а; б − начальная часть кривой

Результаты расчета годографа Михайлова приведены для характеристического уравнения (13.1) на рис. 13.1 а, б. Диапазон изменения угловой частоты на рис. 12.6 а, б − 0 – 25, 0 – 5,5 рад/с..

Matlab-программа расчетов:

w=0:0.2:25;

p=0.1*w.^4-20*w.^2+200;q=0.005*w.^5-2.5*w.^3+50*w; plot(p,q)

В программе w означает угловую частоту ω, p – P(ω), q – jQ(ω). Стрелки на рисунках показывают направление изменения ω от 0 до ∞.

Вид годографа D(jω) удовлетворяет критерию Михайлова, система устойчива.

Критерий устойчивости Михайлова – Найквиста

Этот критерий позволяет судить об устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования по амплитудно-фазовой частотной (а. ф. ч. х.) характеристике W(jω) разомкнутой системы.

В случае, если система в разомкнутом состоянии устойчива, то условие устойчивости замкнутой системы сводится к требованию, чтобы а. ф. ч. х. разомкнутой системы не охватывала точку (-1, j 0).

Критерий устойчивости системы по Михайлову-Найквисту применялся выше в гл. 6.