Функция x | Погрешности | |
абсолютные | относительные | |
Относительная погрешность косвенного измерения равна
Часто формула для вычисления искомой величины представляет собой сложную зависимость от нескольких переменных. В таких случаях порядок вычисления абсолютной и относительной погрешностей целесообразно поменять местами, т.е. сначала вычислить относительную погрешность, а затем абсолютную.
Из математики известно, что . Заменяя в этом выражении на знак , получим
.
Отсюда видно, что для нахождения относительной погрешности необходимо вначале прологарифмировать исходное выражение, а затем его продифференцировать и в конечном выражении заменить знак дифференциала знаком .
Пример 1. Получим формулу для расчета относительной погрешности определения ускорения свободного падения методом математического маятника. Прологарифмируем выражение , используемое в лабораторной работе, а затем продифференцируем.
|
|
;
После вычисления определяется абсолютная погрешность результата:
Пример 2. Вычислим ошибку в определении объема шара по измеренному радиусу. Пусть радиус шара:
Объем шара подсчитывается по формуле:
Тогда, абсолютная ошибка вычисления объема шара:
Подставим числовые значения:
или
Прологарифмируем формулу объема:
Тогда, относительная ошибка:
Таким образом,
Пример 3. Рассчитать предельную ошибку вычисления объема прямоугольного параллелепипеда по данным измерений его ребер:
; ; .
При измерениях электрических величин имеют место следующие основные погрешности.
Абсолютная погрешность – алгебраическая разность между результатом измерения величины и ее действительным значением :
Относительная погрешность отношение абсолютной погрешности измеряемой величины к ее действительному значению , выраженному в процентах:
При тщательных измерениях с использованием наиболее точных приборов обычно и мало отличаются друг от друга. Поэтому в выражении для относительной погрешности в качестве действительного значения берут величину , полученную из опыта. Погрешности и называют погрешностями измерения. Они зависят от погрешности отсчета и погрешности самих приборов.
Погрешность отсчета порождается самим наблюдателем. Для уменьшения этой погрешности проводят несколько отчетов: и за результат измерения принимают среднее арифметическое:
где – число произведенных измерений.
Погрешность самих приборов называют относительной приведенной погрешностью. Она равна отношению абсолютной погрешности прибора к нормирующему значению , выраженному в процентах:
|
|
где – значение, соответствующее делению конца рабочей части шкалы для равномерных или степенных шкал с нулевой отметкой на краю или вне шкалы. Для таких же шкал с нулевой отметкой внутри рабочей части шкалы нормирующее значение принимается равным величине арифметической сумме конечных значений рабочей части шкалы (без учета знаков).