Задача урока – продолжить изучение решения тригонометрических неравенств, содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.
Цели урока:
- закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;
- формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;
- освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;
- развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы, самопроверки;
- воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету, уважения к одноклассникам.
- формирование учебно-познавательных, информационных, коммуникативных компетенций.
Оборудование: графопроектор, раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.
Форма организации обучения – урок. Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемно-поисковые, индивидуального и фронтального опроса, устного и письменного самоконтроля, самостоятельной работы.
развернуть таблицу
N п/п
| Этапы урока
| Содержание
|
| Организация класса на работу.
|
|
| Проверка домашнего задания.
| (Сбор тетрадей с домашней работой)
|
| Формулировка цели урока.
| – Сегодня на уроке повторим решение простейших тригонометрических неравенств и рассмотрим более сложные случаи.
|
| Устная работа.
| (Задания и ответы записаны на кодоскопной ленте, открываю ответы по ходу решения)
- Решить тригонометрические уравнения:
sinx = - , 2sinx = , sin2x = , sin(x – ) = 0, cosx = ,
cosx = - , cos2x = 1, tgx = -1.
- Назовите главные промежутки монотонности функций синус и косинус.
|
| Повторение.
| – Вспомним алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
(На доске – заготовки двух окружностей. Вызываю по одному двух учащихся для решения неравенств.Ученик подробно объясняет алгоритм решения.Класс работает совместно с отвечающими у доски на заранее подготовленных карточках с изображением окружности).
1) sinx - ;
t1< t2;
t1 = arcsin(- ) = - ;
t2 = p + = ;
– + 2p n х + 2p n, n Z.
2) cosx - ;
t1> t2;
t1 = arccos(- ) = p – arccos =
= p – = ;
t2 = - ;
- + 2p n < х < + 2p n, n Z.
– Каким образом отражается на ответе решение строгого неравенства?
(3) и 4) неравенства два ученика решают на кодоскопной ленте, класс – самостоятельно на карточках).
3) cosx< ;
t1< t2;
t1 = arccos = ;
t2 = 2p - = ;
+ 2p n < х< + 2p n, n Z.
4) sinx< ;
t1> t2;
t1 = arcsin = ;
t2 = -p - = - ;
+ 2p n< х< + 2p n, n Z.
– Поменяйтесь вариантами, возьмите ручку другого цвета, проверьте работу товарища.
(Самопроверка с кодоскопной ленты. Комментирует решение ученик, выполняющий задание. После возвращения работ – рефлексия).
– Как измениться решение неравенства при замене аргумента х на 2х, на ? (Оценивание работ учащихся).
|
6.
| Новый материал.
| – Переходим к более сложным тригонометрическим неравенствам,
решение которых будет сводиться к решению простейших тригонометрических неравенств. Рассмотрим примеры.
(Решение неравенств на доске под руководством учителя).
№1. cos22x – 2cos2x 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений вынесением общего множителя за скобку).
cos2x(cos2x – 2) 0.
Замена: cos2x = t, 1; t(t – 2) 0; Второе неравенство не удовлетворяет условию 1.
cos2x 0. (Решить неравенство самостоятельно. Проверить ответ).
Ответ: + p n< х< + p n, n Z.
№2. 6sin2x – 5sinx + 1 0.
(Вспомним прием решения тригонометрических уравнений заменой переменной. У доски решает ученик с комментариями).
Замена sinx = t, 1. 6t2 – 5t +1 0, 6(t – )(t – ),
Ответ: + 2p n х + 2p n, -p -arcsin + 2p k х arcsin + 2p k, n, k Z.
№3. sinx + cos2x> 1.
(Обсуждаем варианты решения. Вспоминаем фомулу косинуса двойного угла. Класс решает самостоятельно, один ученик – на индивидуальной доске с последующей проверкой).
sinx + cos2x – 1> 0, sinx – 2sin2x> 0, sinx(1 – 2sinx) > 0,
Ответ:
2p n< x< + 2p n, + 2p n< x< p + 2p n, n Z.
Проанализировать ситуации, когда ответ к решению квадратного неравенства записываем в виде совокупности двух неравенств, а когда – в виде системы. Полезна следующая схема:
00025165926425165824000000000012516582401
№4. cos cosx – sin sinx< - .
(Обсуждение. К доске вызываются по одному ученику на каждый шаг решения, комментируются этапы. Учитель проверяет запись у учеников, работающих на месте).
cos(x + ) < - , cost< - .
+ 2p n< t< + 2p n, n Z,
+ 2p n< x + < + 2p n, n Z,
+ 2p n< x< + 2p n, n Z.
Ответ:
+ 2p n < x < + 2p n, n Z.
№5. Определите все а, при каждом из которых неравенство
4sinx + 3cosx а имеет хотя бы одно решение.
(Вспомнить алгоритм решения тригонометрического уравнения с нормирующим множителем. Решение записано на кодоскопной ленте. Открываю его поэтапно по мере рассуждений. Дифференцированная работа).
4sinx + 3cosx а, М = = 5. Разделим обе части неравенства на 5: sinx + cosx . Так как ( )2 + ( )2 = 1, то существует такой угол , что cos = , а sin = . Перепишем предыдущее неравенство в виде: sin(x + ) . Последнее неравенство, а, значит, и исходное неравенство имеет хотя бы одно решение при каждом а таком, что -1, то есть при каждом а -5. Ответ: а -5.
|
7.
| Домашнее задание.
| (Раздаю карточки с записью домашнего задания.Комментирую решение каждого неравенства).
- cosx > sin2x;
- 4sin2xcos2x < -
; - cos2
sin2 – 0,5; - sinx +
cosx > 1. Повторить тригонометрические формулы сложения, подготовиться к самостоятельной работе.
|
8.
| Подведение итогов, рефлексия.
| – Назовите приемы решения тригонометрических неравенств.
– Каким образом знание алгоритма решения простейших тригонометрических неравенств используется при решении более сложных неравенств?
– Какие неравенства вызвали наибольшее затруднение?
(Оцениваю работу учащихся на уроке).
|
Самостоятельная работа
по результатам освоения материала
Вариант 1
Решите неравенства 1 – 3:
- sin3x –
< 0; - cos2x + 3cosx > 0;
- cos
cos2x – sin sin2x - . - Определите все а, при каждом из которых неравенство 12sinx + 5cosx
а имеет хотя бы одно решение. | Вариант 2
Решите неравенства 1 – 3:
- 2cos
> 1; - sin2x – 4sinx < 0;
- sin
cos3x – cos sin3x - . - Определите все а, при каждом из которых неравенство 6sinx-8cosx
а имеет хотя бы одно решен |
д/з§37 разобрать примеры 1-4 решить №648(2) и самостоятельную работу по учебнику Ш.А. Алимов 10-11 класс Алгебра и начало математического анализа