нормаль
М
j М 0
касательная плоскость
Касательной плоскостью к поверхности в точке М 0 – называется плоскость, которая проходит через точку М 0 поверхности, если угол между секущей ММ 0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние ММ 0.
В какой-либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Нормалью к поверхности в точке М 0 называется прямая, проходящая через точку М 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
Если поверхность задана уравнением и в точке частные производные , , конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к данной поверхности в точке М 0 имеет вид
|
|
,
а уравнение нормали к поверхности в этой же точке
Если же поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости имеет вид
,
а уравнение нормали к поверхности
Производная по направлению.
Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки и произвольный единичный вектор .
у
L
у +Δ у β М 1
|
О х х +Δ х х
Проведем через точку М прямую L так, чтобы она совпадала с вектором и возьмем на этой прямой точку . Обозначим величину отрезка ММ 1 через Δ l, то есть . Функция при этом получит приращение .
Предел отношения при Δ l →0 (М 1→ М), если он существует, называется производной функции в точке по направлению вектора и обозначается , то есть
Производная по направлению характеризует скорость изменения функции в точке М в направлении вектора .
Если функция дифференцируема в точке М, то производная по направлению вычисляется по формуле:
(1)
где cos α и cos β – направляющие косинусы вектора .
Для функции
Градиент.
Градиентом функции в точке называется вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным , взятым в точке .
Используя понятие градиента функции, и учитывая, что вектор имеет координаты cos α и cos β, представим формулу производной по направлению (1) в виде скалярного произведения векторов grad z и
|
|
(2)
С другой стороны, по определению скалярного произведения имеем
(3)
Сравнивая формулы (2) и (3) и учитывая, что , получаем
Из последнего равенства следует, что производная функции по направлению имеет наибольшую величину при cos φ = 1 (при φ = 0), то есть когда направление вектора совпадает с направлением grad z. При этом
Для функции
,