Экономическая интерпретация результатов решения исходной и двойственной задач линейного программирования

Пусть исходная задача формулируется, например, следующим образом: предприятие изготавливает несколько видов продукции, расходуя на это изготовление различные виды сырья; для производства j -ого вида продукции нормативы затрат i –ого сырьевого ресурса на единицу продукции составляют a_ij единиц ресурса, общее количество которого ограничено и равно b_i; доход, получаемый от реализации каждого вида продукции, различен, и от реализации единицы продукции он составляет c_j денежных единиц; если в качестве x_j принять искомое количество единиц продукции j -ого вида, то задача заключается в выборе такого плана выпуска продукции , который с учетом наличия ресурсов обеспечит максимальный суммарный доход от ее реализации.

Рассмотрим теперь задачу, двойственную к исходной. В соответствии с теоремой двойственности:

Величина  выражается в денежных единицах. Поэтому  также следует измерять в денежных единицах. Поскольку b_i – количество ресурсов, то y_i интерпретируется как некоторая «цена» единицы этого ресурса.

Следует иметь в виду, что определенные таким образом «цены» являются условными, так как они существенно зависят от параметров данной задачи, а, следовательно, могут функционировать только внутри рассматриваемого производственного комплекса.

Из рассмотрения i –го ограничения

можно сделать следующие выводы. Поскольку a_ij – количество единиц i -го ресурса, требуемое для производства единицы продукции j -ого вида, то  – стоимостная оценка затрат i -го ресурса на единицу продукции j -ого вида. Суммарная же оценка всех ресурсов для производства единицы продукции j -ого вида составит:

Эта оценка должна быть не меньше получаемого дохода.

Эти положения дают возможность выяснить важные для экономического анализа условия, которым должны удовлетворять компоненты оптимальных планов пары двойственных задач.

Пусть X* и Y* – оптимальные планы исходной (прямой) и двойственной задач. Согласно второй теореме двойственности, если , то y_i =0. Это означает, что если i -ый ресурс недоиспользован, то его оценка равна нулю, если же y_i >0, то . Следовательно, компоненты y_i указывают в некотором смысле на дефицитность соответствующего ресурса. Они равны нулю, если ресурс не является дефицитным, и положительны при полном использовании ресурса.

Компоненты оптимального плана двойственной задачи называют объективно обусловленными или двойственными оценками.

Согласно теореме двойственности, если для оптимального плана i -ое ограничение выполняется как строгое равенство, то y_i >0. С экономической точки зрения это значит, что i -ый ресурс использован полностью и является дефицитным. При этом, если будет добавлено извне некоторое количество этого ресурса Δ b_i, то общая прибыль будет увеличена на y_i *Δ b_i денежных единиц. Ресурсы, имеющиеся в избытке, имеют нулевую оценку, так как дальнейшее увеличение их количества никак не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и на общую ее стоимость.

В соответствии с условием   x_j =0, что означает: при производстве j -ого вида продукции суммарная оценка ресурсов для производства продукции  выше дохода c_j, следовательно, данный вид продукции не должен производиться (x_j =0) (при данных «ценах» ресурсов он является убыточным). Если x_j > 0, то , что означает: при производстве j -ого вида продукции в оптимальном плане суммарная оценка ресурсов, необходимых для производства единицы продукции, равна доходу.

Величина y_i численно равна приращению целевой функции исходной задачи при изменении правой части i -го ограничения на единицу. Так, если
i- ое условие является ограничением по некоторому ресурсу, то y_i численно отражает экономический эффект от увеличения количества этого ресурса на единицу.