2020-05-25
197Примерный план исследования функции:
1.Область определения.
2. Точки пересечения с осями координат:
1) с осью оу: х=0
2)с осью оx: y=0
3.Чётность и нечётность:
Если f(-х)= - f(х), то функция нечётная (График симметричен относительно начала координат)
Если f(-х)= f(х), то функция чётная (График симметричен относительно оси ординат Оу)
Если f(-х) 
- f(х) и f(-х) f(х), то функция ни чётная и ни нечётная (симметрии графика нет)
4. Производная
5. Стационарные точки(решаем уравнение: производная f’(x)=0)
6. Промежутки возрастания и убывания
Если производная f’(x) положительна, то функция возрастает.
Если производная f’(x) отрицательна, то функция убывает.
7. Точки экстремума и экстремумы в них
Если производная переходя через стационарную точку меняет свой знак с + на -, то это точка максимума
Если производная переходя через стационарную точку меняет свой знак с – на +, то это точка минимума
8.Дополнительные точки
9. График функции.
Задача 1учебник 
стр.271.
| План исследования функции | исследование функции | |
| Функция У=х3-2х2+x | ||
| 1 | Область определения | Х- любое число или хЄR |
| 2 | Точки пересечения с осями координат | 1)с осью оу: х=0 y(0)=4 2)с осью оx: y=0 х3-2х2+x=0 x(x2-2x+1)=0 х=0 (x2-2x+1)=0 (х-1)2=0 Х=1 Итак на осях координат имеем точки (0;4); (0;0); (1;0) |
| 3 | Чётность и нечётность | У(-х)=(-х)3 -2(-х)2 +4=- х3-2х2+4 функция не является ни чётной и ни нечётной |
| 4 | Производная | У’(x)=3x2-4x+1 |
| 5 | Стационарные точки | У’(x)=0 3x2-4x+1=0 D =16-4*3*1=4 Корни х=1/3 х=1 |
| 6 | Промежутки возрастания и убывания | у’ + +
•  х
Y 1/3 1
|
| 7 | Точки экстремума и экстремумы в них | Xmax=1/3 ymax= (1/3)3-2 (1/3)2+1/3=4/27 Xmin=1 ymin=1-2+1=0 |
| 8 | Дополнительные точки | Х=-1 у(-1)=-1-2-1=-4 х=2 у(2)=8-2* 4+2=2 |
|
|
|
Строим график функции.
Задача 3 учебник стр.273
1. ООФ: Х‡0
2. Точки пересечения с осями координат:
1) с осью оу: Х‡0, поэтому точек пересечения с осью Оу нет
2)с осью оx: y=0. Решаем х + 4/х=0. Приведём к общему знаменателю:
(Х2+4)/х=0, где Х‡0
Х2+4=0
Х2=-4 -корней нет,
значит точек пересечения с осью ох нет
3.Чётность и нечётность: f(-х)=- х-4/х= - (х+4/х)= - f(х )- нечётная. График симметричен относительно оси начала координат.
4. Производная f’(x)=1- 4/х2=(х2-4)/ х2
5. Стационарные точки:
производная f’(x)=0 х2-4=0, где Х‡0.
(х -2)(х+2)=0
х -2 =0 или х+2=0
х=2 и х= -2-стационарные точки
6. Промежутки возрастания и убывания
У’ + _ _ +
y 
-2 °0 •2 x
7. Точки экстремума и экстремумы в ниx
|
|
|
Х=0- точка разрыва (Х‡0)
Xmax= -2 ymax= -2+4: (-2)=-2-2=-4
Xmin=2 ymin=2+4:2=2+2=4
Результаты исследования можно записать в таблице
| х | х< -2 | -2 | -2<х<0 | 0 | 0<х<2 | 2 | Х >0 |
| У’ | + | 0 | - | Не сущ | - | 0 | + |
| У | -4 | Не сущ | 4 | ||||
| max | Нет экстре- мума | min |
8.Дополнительные точки: х=1 У(1)=5
Х=4 У(4)=5
Примечание: План исследования является примерным.
Иногда при нахождении точек пересечения с осью Ох получается сложное уравнение, которое мы не знаем как решать, тогда этот пункт можно пропустить. Точки пересечения определятся при построении графика.
Решить задачи:
Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
1. У= х2- 4х.
2. f(x)= 1-x3
3. f(x)= x3- 3x2
4. Y= x3- x
ПРОДОЛЖЕНИЕ
Задание на 28.04
Исследовать функцию с помощью производной и построить график:
1.f(x)= 2x+5
2. f(x) =x+ 
3. f(x) =x+
4. f(x)= 3x4- 4x3
ЗАДАЧА. Построить график, применяя производную
У=4-10х
1.ООФ: х-любое число.
2. а) х=0 у(0)=3. На оси оУ точка (0;3)
б) у=0 4-10х=0
х=4: 10=0,4 На оси оХ точка (0,4; 0)
3.f(- x)= 4- 10(-x)= 4+10x. Функция ни чётная и ни нечётная.
4.f’(x)= - 4 
Стационарных точек нет.
у’
5.Производная отрицательна (-4<0), то функция убывающая.
6.Точек экстремума нет.
3
0,4
Задача У= 3х5-5х3
.ООФ: х-любое число.
2. а) х=0 у(0)=0. На оси оУ точка (0;0)
б) у=0 3х5-5х3=0
х3(3х2-5)=0
х3= 0 или 3х2-5=0
х2=5/3
х= 
На оси оХ точки (-1,3; 0)и (1,3; 0)
3.f(- x)= 3(-х)5- 5(-x)3= -3х5+5х3= -(3х5-5х3)= - f(x)=Функция нечётная.
4.f’(x)= 15х4-15х2=15х2(х2-1)= 15х2(х-1)(х+1)
5. производная f’(x)=0 15х2(х-1)(х+1)=0
15х2=0 (х-1)=0 (х+1)=0
Х=0 х=1 х=-1
Стационарные точки
+ - - +
Y’ • • •
-1 0 1
функция возрастает на (- 
; -1] и на[1;+ 
функция убывает на [-1;1]
6. Xmax= -1 ymax= -3+5=2
Xmin=1 ymin= 3-5=-2
X=0 – не является точкой экстремума (знак производной не меняется)
| 2 | ||||||||||||||||||||
| - | 1 | 1 | ||||||||||||||||||
| - | 2 | |||||||||||||||||||
|
|
|
