ИСП-195 (за 30.04)
Лекционное занятие по теме: «Вычисление углов с вершиной внутри и вне круга, угла между хордой и касательной. Теорема о произведении отрезков хорд. Теорема о касательной и секущей. Теорема о сумме квадратов сторон и диагоналей параллелограмма. Вписанные и описанные многоугольники. Свойства и признаки вписанных и описанных четырехугольников».
Угол между хордой и касательной
Теорема
Угол между хордой и касательной к окружности, проведённой через конец хорды, равен половине дуги, лежащей внутри этого угла.
Дано:
окр. (O; R), AB — хорда, BC — касательная
Доказать:
Доказательство:
1) Соединим центр окружности с концами хорды.
Треугольник OAB — равнобедренный с основанием AB (так как OA=OB как радиусы).
Следовательно, ∠OBA=∠OAB (как углы при основании).
По теореме о сумме углов треугольника, ∠OBA+∠OAB+∠AOB=180º. Значит,
2) ∠OBC=90º (по свойству касательной).
∠ABC=∠OBC-∠OBA
3) Градусная мера дуги AB равна градусной мере центрального угла AOB.
|
|
отсюда
Что и требовалось доказать.
Задача
Треугольник ABC вписан в окружность. Через вершину B проведена касательная к окружности, а из точки A на касательную опущен перпендикуляр AF. Найти ∠ACB, если ∠FAB=27º.
Дано: ∆ABC, окр. (O; R) — описанная,
BF — касательная,
∠FAB=27º
Найти: ∠AСB
Решение:
1) Рассмотрим ∆ABF. ∠AFB=90º. Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то ∠ABF=90º-∠FAB=90-27=63º.
2) ∠ABF — угол между касательной BF и хордой AB. Значит, он равен половине дуги AB:
3) ∠AСB — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Следовательно он также равен её половине:
Отсюда, ∠AСB=∠ABF=63º.
Ответ: 63º.
Описанная окружность четырехугольника.
Вписанный четырехугольник
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого принадлежат данной окружности. Окружность называют описанной. Центр окружности, описанной около четырехугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных ко всем его сторонам.
Свойства и признаки вписанного четырехугольника
Свойства описанной окружности четырехугольника:
1. Если четырехугольник вписан в окружность, то сумма его противолежащих углов равна 180°.
2. Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.
Признак вписанного четырехугольника:
Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность.