Практическое занятие № 3
Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда число исходов опыта бесконечно.
Пусть каждому исходу опыта поставлена в соответствие точка плоскости . Тогда множеству всех исходов опыта соответствует область плоскости , а множеству исходов, благоприятствующих появлению события , соответствует область плоскости . Будем считать, что все исходы опыта равновозможны, несовместны и образуют полную группу.
Тогда вероятность события вычисляется по формуле: , где - площадь области ;
- площадь области .
Задача 1. Наугад взяты два положительных числа, каждое из которых не больше единицы.
Какова вероятность того, что их сумма не превосходит единицы, а их произведение не больше ?
Обозначим: первое число ,
второе число .
Событие - сумма не превосходит единицы, а произведение не больше .
Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)
Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: .
Число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:
Площадь области (см. рисунок) равна:
.
Тогда вероятность события равна:
Задача 2. Наугад взяты два положительных числа и , каждое из которых не превышает двух.
Найти вероятность того, что произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.
Событие - произведение будет не больше единицы, а частное не больше двух.
Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)
Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: .
Число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:
(2)
Область , описываемая системой неравенств (2), представляет собой криволинейную трапецию, ограниченный линиями (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: равна:
.
Тогда вероятность события равна:
Задача 3. На отрезке длины числовой оси наудачу поставлены две точки и .
Найти вероятность того, из трех получившихся отрезков можно построить треугольник.
Событие - из трех отрезков можно построить треугольник.
Обозначим: длину первого отрезка ,
длину второго отрезка ,
длину третьего отрезка .
Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)
Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой треугольник, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: .
Теорема. Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.
Тогда число исходов, благоприятствующих событию , описывается системой неравенств:
(2)
Область , описываемая системой неравенств (2), представляет собой треугольник, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: равна: .
Тогда вероятность события равна:
Задача 4. Два студента договорились встретиться между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго 20 минут , после чего уходит.
Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода в указанном промежутке.
Событие - студенты встретятся.
Пусть и - моменты прихода студентов на встречу.
Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)
Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: .
Число исходов, благоприятствующих событию (студенты встретятся), описывается неравенствами:
1) если студент приходит первым и ждет студента 20 минут , то ;
2) если студент приходит первым и ждет студента 20 минут , то .
Площадь области (см. рисунок) равна: .
Тогда вероятность события равна: .
Задача 5. Автобусы маршрутов и прибывают на остановку в случайные моменты времени на каждом десятиминутном интервале. Стоянка автобуса - одна минута, автобуса - полторы минуты.
Найти вероятность встречи автобусов на этой остановке, если моменты прихода каждого из них независимы и равновозможны в течение указанного времени.
Событие - автобусы встретятся на остановке.
Пусть и - моменты прихода автобусов и на остановку.
Общее число исходов опыта описывается системой неравенств: (1)
Область , описываемая системой неравенств (1), представляет собой квадрат, ограниченный прямыми (см. рисунок).
Следовательно, площадь области равна: .
Число исходов, благоприятствующих событию , описывается неравенствами:
1) если автобус приходит первым и стоит одну минуту, то ;
2) если автобус приходит первым и стоит полторы минуты, то .
Площадь области (см. рисунок) равна:
.
Тогда вероятность события равна: .
Статистическое определение вероятности
Классическое и геометрическое определения вероятности основаны на предположении, что все исходы опыта равновозможны. На практике доказать или опровергнуть это предположение затруднительно.
Тогда применяют статистическое определение вероятности, где в качестве вероятности события принимают его относительную частоту или частость.
Пусть опыт проводится раз при одинаковых условиях, и пусть в этом опыте событие наступило раз. Тогда отношение числа опытов , в которых наступило событие , к общему числу опытов называется частостью события или относительной частотой события :
В другой серии опытов частость события может иметь другое значение. Но при увеличении числа опытов частость события стабилизируется и обладает статистической устойчивостью. В силу этого частость события приближенно принимают равной вероятности события в единичном опыте:
Задача 1. По цели произвели 20 выстрелов, при этом было зарегистрировано 18 попаданий в цель.
Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.
Событие - попадание в цель при одном выстреле.
Задача 2. При испытании партии приборов относительная частота годных оказалась равной 0,9.
Найти число годных приборов, если всего было проверено 200 штук.
- число годных приборов в партии из 200 штук.