Крутильные колебания используются для определения моментов инерции различных тел. Момент инерции - аналог массы. Как масса – мера инертности при поступательном движении, так и момент инерции – мера инертности тел при вращательном движении. Величина момента инерции относительно какой-либо оси определяется пространственным распределением массы тела – геометрией массы. Аналитическое вычисления момента инерции выполняют путем интегрирования выражения
где ρ- плотность вещества в элементе объема d V, что находится на расстоянии r от оси вращения.
Для сложной формы поверхности и неравномерном распределении плотности вычисление величины момента инерции является сложной задачей. В таких случаях момент инерции можно определить экспериментально на установке, которая аналогична используемой в данной работе.
Метод определения момента инерции, используемый в работе, основан на зависимости периода крутильных колебаний маятника, подвешенного напроволоке, от упругих свойств материала проволоки и момента инерции самого маятника.
|
|
Если колеблющееся твердое тело совершает вращательное движение, то к нему может быть применен основной закон динамики вращательного движения:
(9.1)
где J - момент инерции маятника;
М крутящий момент (момент силы) по той же оси;
- угловое ускорение.
При малых углах отклонения по закону Гука:
(9.2)
где k – коэффициент упругости проволоки.
С учетом (9.2) выражение (9.1) представим в виде:
(9.3)
Уравнение (9.3) соответствует дифференциальному уравнению гармонических крутильных колебаний:
(9.4)
Период таких крутильных колебаний находится по формуле
(9.5)
В выражении (9.5) две неизвестные J и k, которые являются постоянными для этого крутящего маятника. Чтобы их определить необходимо использовать тело - эталон - тело с известным моментом инерции, или момент инерции которого легко определить по формулам. Записывают (9.5) для двух случаев
, (9.6)
где Тпр, J пр -период колебаний и момент инерции прибора,
Тэт, J эт - период колебаний и момент инерции прибора вместе с эталоном.
Решив систему уравнений (9.6), можно получить:
(9.7)
Определив константы крутящего маятника, можно найти момент инерции исследуемого тела (образца). Для этого экспериментально находят период крутильных колебаний маятника с образцом и рассчитывают момент инерции по уравнению:
|
|
(9.8)
(9.9)
Подставляя в (9.9) выражения для J пр и k с (9.7), получим:
(9.10)
Эталоном JЭТ берут, как правило, момент инерции шара, диска или куба.