Арифметические и логические основы работы компьютера

В основе работы логических схем и устройств персонального компьютера лежит специальный математический аппарат - математическая логика. Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.
Алгебру логики иначе называют алгеброй высказываний. В математической логике суждения называются высказываниями.

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Высказывание (суждение) – некоторое предложение, которое может быть истинно (верно) или ложно.

Например:
Земля - планета Солнечной системы. (истинно)
2+8<5 (Ложно)
Всякий квадрат есть прямоугольник (истинно)
Каждый прямоугольник есть квадрат (ложно)
Рим — столица Франции (ложное)

Не всякое предложение является логическим высказыванием.

1. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.
- “Какого цвета этот дом?”
- “Пейте томатный сок!”
- “Стоп!”
2. Не являются высказываниями и определения.
“Назовем медианой отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны”.
Определения не бывают истинными или ложными, они лишь фиксируют принятое использование терминов.
3. Не являются высказываниями и предложения типа "в городе A более миллиона жителей", "у него голубые глаза" или “х -4х+3=0” - в них не указано о каком конкретно городе, о каком человеке идет речь или для какого числа х верно равенство.

В математической логике не рассматривается конкретное содержание высказывания, важно только, истинно оно или ложно. Поэтому высказывание можно представить некоторой переменной величиной, значением которой может быть только 0 или 1. Если высказывание истинно, то его значение равно 1, если ложно - 0. Простые высказывания назвали логическими переменными, а сложные высказывания логическими функциями. Значения логической функции также только 0 или 1. Для простоты записи высказывания обозначаются латинскими буквами А, В, С.

У кошки четыре ноги. А=1; Москва расположена на двух холмах. В<0

Заметим, что зачастую трудно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание "площадь поверхности Индийского океана равна 75 млн кв. км" в одной ситуации можно посчитать ложным, а в другой — истинным. Ложным — так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным — если рассматривать его как некоторое приближение, приемлемое на практике.

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания "не", "и", "или", "если..., то", "тогда и только тогда" и другие позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками.

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными.