Геометрия 11 класс
Урок №61
Тема: «Основные понятия и аксиомы стереометрии.
Параллельность прямых и плоскостей»
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.
Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.
Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.
Плоскость. Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны. | ![]() |
На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, | ![]() |
|
|
Аксиомы стереометрии и их следствия
Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. | ![]() | ||||
Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую). | ![]() | ||||
Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.
| ![]() | ||||
Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.
Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты. | ![]() | ||||
Некоторые следствия из аксиом Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна. | ![]() | ||||
Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна. | ![]() | ||||
Параллельные прямые в пространстве Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
| |||||
Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
|
![]() | ||||
Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. |
![]() | ||||
Теорема о трех прямых в пространстве.
Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b). |
![]() | ||||
Параллельность прямой и плоскости Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.
| |||||
Признак параллельности прямой и плоскости Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
|
![]() | ||||
Теорема. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. | | ||||
Теорема. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. | |||||
Взаимное расположение прямых в пространстве | |||||
Пересекающиеся прямые:
лежат в одной плоскости, имеют одну общую точку.
![]() | Параллельные прямые: лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
| Скрещивающиеся прямые:
не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек (не пересекаются)
![]() | |||
Параллельность плоскостей Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.
| ![]() | ||||
Признак параллельности двух плоскостей Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Если а∥а1 и b∥b1, то α∥β. | ![]() | ||||
Свойства параллельных плоскостей | |||||
Если α∥β и они пересекаются с γ, то а∥b.
|
Если α∥β и AB∥CD, то АВ = CD.
| ||||
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |