Нормальное распределение
Непрерывная случайная величина , распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности
и однозначно определяется параметрами
и
.
(*)
В этой формуле ,
фиксированные параметры,
= m – среднее, математическое ожидание,
– стандартное отклонение, среднее квадратическое отклонение.
Начнём с того, что для функции выполнены свойства плотности вероятностей, а именно
(почему?) и
, откуда следует, что нормально распределённая случайная величина достоверно примет одно из действительных значений. Теоретически – какое угодно, практически – узнаем позже.
Любопытно отметить, что сам по себе неопределённый интеграл является неберущимся, однако указанный выше несобственный интеграл сходится и равен
. Вычисления для простейшего случая
можно найти здесь, все же остальные варианты сводятся к нему с помощью линейной замены
.
Следующие замечательные факты я тоже приведу без доказательства:
– то есть, математическое ожидание нормально Xраспределённой случайной величины в точности равно «а», а среднее квадратическое отклонение в точности равно «сигме»:
.
|
|
Эти значения выводятся с помощью общих формулматематического ожиданияидисперсии, и желающие / нуждающиеся могут ознакомиться с подробными выкладками в учебной литературе, и совсем здОрово, если вам удастся провести их самостоятельно.
.
Графики одномерного нормального распределения
Рисунок 1. График плотности нормального распределения: среднее равно 0, стандартное отклонение 1
Свойства плотности.
1.
2.
Домашнее задание
1. Доказать .
. Следовательно, свойства плотности выполняются.
Графики плотности при различных параметрах приведены ниже.
Рисунок 2. График плотности стандартного нормального распределения с областями, содержащими 68% и 95% всех наблюдений
Рисунок 3. Графики плотностей нормальных распределений c нулевым средним и разными отклонениями ( =0.5,
=1,
=2)
Кривая плотности нормального распределения симметрична относительно и имеет в этой точке единственный максимум, равный
Параметр стандартного отклонения меняется в пределах от 0 до ∞.
Среднее меняется в пределах от -∞ до +∞.
При увеличении параметра кривая растекается вдоль оси х, при стремлении
к 0 сжимается вокруг среднего значения (параметр
характеризует разброс, рассеяние).
При изменении кривая сдвигается вдоль оси х (см. графики).
Двумерное нормальное распределение
Одномерное нормальное распределение естественно обобщается на двумерное нормальное распределение.
Общая формула для двумерного нормального распределения имеет вид:
|
|
Где – парная корреляция между X1 и X2;
– среднее и стандартное отклонение переменной X1 соответственно;
– среднее и стандартное отклонение переменной X2 соответственно.
Если случайные величины Х1 и Х2 независимы, то корреляция равна 0, = 0, соответственно средний член в экспоненте зануляется, и мы имеем:
f(x1,x2) = f(x1)*f(x2)
Для независимых величин двумерная плотность распадается в произведение двух одномерных плотностей.