Учебная дисциплина: Математика (включая алгебру и начала математического анализа, геометрию).
Тема: «Выполнение действий над векторами».
Цель занятия: Обобщить и систематизировать знания по теме «Действия над векторами»; закрепить умения использовать полученные знания для решения геометрических задач.
Норма времени: 80 мин.
Контрольные вопросы.
1. Понятие прямоугольной системы координат в пространстве. Ее элементы.
2. Понятие вектора. Действия над векторами в координатной форме.
3. Скалярное произведение векторов.
4. Угол между векторами.
5. Длина вектора. Разложение вектора по координатным векторам.
6. Формула расстояния между двумя точками. Координаты середины отрезка
Примеры и последовательность выполнения заданий.
Пример 1
Даны векторы ; ;
Вычислить |(2 + )| – 4(2 - )
Решение.
2 2
2 + 2 +
2 2
2 - 2 -
4(2 - ) 4(2 - )
Так как 4(2 - ) - это скалярное произведение векторов, то по формуле скалярного произведения получим:
4(2 - ) = 16∙(-1) + (-20)∙1 + (-36)∙(-1)= -16 – 20 + 36 = 0
|
|
Тогда |(2 + )| – 4(2 - ) = + 0 =
Ответ: |(2 + )| – 4(2 - ) =
Пример 2. Выяснить при каких значениях m и n данные векторы коллинеарные: и .
Решение.
У коллинеарных векторов соответствующие коэффициенты пропорциональны. Запишем соответствующую пропорцию, из которой найдем m и n:
, откуда
Ответ: m = -2, n = -2.5.
Пример 3.
Вершины треугольника имеют координаты А(1; 2; 0), В(5; -1; 3), С(6; 5; 4). Найдите длины сторон треугольника и угол A треугольника ABC.
Решение.
А(1; 2; 0) |
В(5; -1; 3) |
С(6; 5; 4) |
1. Найдем координаты векторов , ,
2. Найдем длины каждого вектора. Это и будет длины сторон треугольника АВС.
-длина стороны АВ
-длина стороны ВС
-длина стороны АС
3. Найдем угол ВАС – это угол между векторами и .
.
Ответ: ,
ВЫПОЛНИТЕ СЛЕДУЮЩИЕ ЗАДАНИЯ:
Вариант
1. Запишите координаты вектора: = 3 +2 -5 , = -2 -3 +4 , = - , = 2 , = - + и найдите скалярное произведение векторов и .
2. Даны векторы {-3;-1;2}, {0;3;4}, {0;-1;0}, запишите разложение этих векторов по координатным векторам , , .
3. Найдите середину отрезка AC: A (6; 7; 8), C (4; 3; 2)
4. При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:
5. Дан Δ ABC и координаты вершин треугольника: A(-5;2;-2), B(-4;3;0), C(-5;2;0).
Найдите:
а) их координаты; б) длины векторов ; в) углы между векторами и .
6. Найдите скалярное произведение векторов, используя формулу:
= | | | | . Если {1;2;2}, {-2;-1;-2}.
Вариант
1. Запишите координаты вектора: = 2 +4 -3 , = -3 -2 +2 , = - , = 3 , =- - и найдите скалярное произведение векторов и .
2. Даны векторы {-4;2;1}, {3;4;0}, {0;0;-1}, запишите разложение этих векторов по координатным векторам , , .
|
|
3. Найдите середину отрезка BD: B (8; 2; 6), D (2; 8; 4)
4. При каких значениях k и c данные векторы коллинеарные:
5. Дан Δ KNM и координаты вершин треугольника: K(4;-3;0), N(5;-3;1), M(5;-5;-1). Найдите:
а) их координаты; б) длины векторов ; в) углы между векторами и .
6. Найдите скалярное произведение векторов, используя формулу:
= | | | | . Если {2;1;2}, {-1;-2;-2}.