ОЦЕНКА НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕКТРООБОРУДОВАНИЯ
Методические указания
к практическим занятиям по курсу
«НАДЕЖНОСТЬ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ»
Санкт-Петербург
Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»
2018
Оценка надежности электрооборудования: Методические указания к практическим занятиям по курсу «Надежность электротехнического оборудования»/ Сост.: Г. В. Комарова, С. А. Круглов. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018. 24 с.
Содержат материалы по расчету показателей надежности электротехнических оборудования и систем с использованием теории вероятностей и математической статистики.
Методические указания предназначены для бакалавров и магистров направления «Электроэнергетика и электротехника».
Утверждено
редакционно-издательским советом университета
в качестве методических указаний
©СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2018
Надежность является важнейшим технико-экономическим показателем качества любого технического устройства и электротехнических систем.
|
|
Расчет надежности стал обязательным инженерным расчетом на всех этапах разработки, создания и использования электротехнического оборудования.
Оценка и расчет надежности базируются на теории вероятностей и методах математической статистики. В результате расчета получаются количественные значения показателей надежности исследуемого объекта.
Данные методические указания могут быть использованы для решения задач на практических занятиях по курсу «Надежность электротехнического оборудования» и для выполнения заданий по расчету надежности основных узлов электромеханических преобразователей.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ
Вероятности сложных событий можно вычислять с помощью более простых вероятностей, пользуясь двумя основными правилами теории вероятностей: правилом сложения вероятностей и правилом умножения вероятностей, которые часто называют основными теоремами теории вероятностей.
События A и B несовместны, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. События образуют полную группу, если в результате опыта непременно произойдет хотя бы одно из них.
Если события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:
.
Условной вероятностью события A при наличии события B (обозначается ) называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие В произошло. Суммой событий A и B называется событие, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из этих событий. Тогда правило сложения вероятностей может быть записано следующим образом.
|
|
Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
,
где – вероятность совместного появления событий A и B.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
,
Произведением событий A и Bназывается событие, состоящее в совместном выполнении этих событий.
Вероятность произведения двух событий A и B равна произведению вероятности одного из них (например, A) и условной вероятности другого при наличии первого:
,
или, если в качестве первого события взять В,
,
Для независимых событий правило умножения вероятностей принимает вид
.
Следствием правил сложения и умножения вероятностей является теорема о повторении опытов, состоящая в следующем. Если производится п независимых опытов, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью р, то вероятность того, что в данной серии опытов событие Aпоявится ровно т раз, выражается формулой
или обозначая ,
,
где .
Вероятность того, что в серии из п независимых опытов событие Aпоявится не менее т раз, выражается формулой
Если об обстановке опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез) и событие A может появиться только вместе с одной из этих гипотез, то полная вероятность события
где –вероятность гипотезы , – условная вероятность события А при этой гипотезе.
Вероятность события A, которое может произойти вместе с одной из гипотез , образующих полную группу несовместных событий, равна сумме произведений вероятности каждой гипотезы на условную вероятность события A при этой гипотезе.
Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события:
Формула, называемая формулой Бейеса, позволяет пересмотреть возможности гипотез с учетом полученного результата опыта.
Пример 1.1. Устройство работает в двух режимах: номинальном и с перегрузкой. Номинальный режим наблюдается в 90 % всех случаев работы, с перегрузкой - в 10 %. Вероятность выхода устройства из строя в номинальном режиме равна 0.2, в режиме с перегрузкой 0.7. Найти полную вероятность Р отказа устройства.
Решение. Имеется две гипотезы: - номинальный режим; - режим с перегрузкой. Вероятности этих гипотез ; . Тогда полная вероятность события А (отказ устройства):
Пример 1.2. Вероятность того, что устройство удовлетворяет стандарту равна 0.96. Предлагается система испытаний, которая для устройств, удовлетворяющих стандарту, дает положительный результат с вероятностью 0.98, а для устройств, ему не удовлетворяющих, - с вероятностью 0.05. Какова вероятность того, что устройство, дважды выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?
Решение. Имеется две гипотезы: устройство удовлетворяет стандарту - не удовлетворяет стандарту - . . При первой гипотезе вероятность того, что устройство выдержит испытание = 0.98, а при второй - = 0.05.
После двукратного опыта вероятность первой гипотезы
Пример 1.3. Техническое устройство состоит из 5 узлов; каждый узел за время эксплуатации выходит из строя с вероятностью q= 0.2. Отдельные узлы отказывают независимо друг от друга. Если откажет более двух узлов, устройство не может работать; если откажет 1 или 2 узла, оно работает, но с пониженной эффективностью.
Найти вероятности событий:
А - работают все узлы;
В- устройство может работать;
С- устройство работает с пониженной эффективностью.
Решение:
;
,
где ;
.