Статистическая обработка данных

Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины: x₁, x₂, x₃…x_n.

Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим. Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку.

Поскольку кривая Гаусса распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки:

где – n число измерений.

Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина

Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения.

Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина:

Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины. Результат записывается в виде:

В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n → ∞ переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.

Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом

Стьюдента t. Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что

Δx = S_x· t.

где Δx – абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;

S_x– среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.

Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице 3.

Таблица 3

Значения коэффициентов Стьюдента