Цель работы: изучение процесса токопереноса в тонких, сплошных металлических пленках и определение параметров, характеризующих явление размерного эффекта.
теоретические сведения
Проводимость сплошных металлических пленок подчиняется закономерностям, которые присущи процессам токопереноса в массивных образцах. Теория электропроводности металлов была создана учеными П. К. Л. Друде, Г. А. Лоренцом, А. И. В. Зоммерфельдом. Выражение для электро-проводности вырожденного электронного газа имеет вид
, (5.1)
где n – концентрация свободных носителей заряда в единичном объеме;
e – заряд электрона;
lF – длина свободного пробега электрона проводимости на уровне (или вблизи уровня) Ферми;
m – масса электрона;
v – скорость движения электрона на фермиевской поверхности.
Особенностью процессов токопереноса в тонких пленках в отличие от массивных образцов является проявление так называемого размерного эффекта.
|
|
Если толщина металлической пленки сравнима по величине с длиной свободного пробега электрона, то на движение последнего накладываются геометрические ограничения. Физические эффекты, возникающие из-за геометрического ограничения длины свободного пробега, называются, «размерными» эффектами.
Впервые теорию размерного эффекта выдвинул Дж. Дж. Томсон для объяснения наблюдаемого им на опыте более высокого удельного сопротивления тонких пленок по сравнению с массивными образцами.
Теория размерного аффекта для модели свободных электронов в предположении сферичности поверхности Ферми была разработана Э. Ю. К. Фуксом [1]. Теоретически размерный эффект рассматривается на основе известного в статистической физике кинетического уравнения Больцмана. Оно описывает стационарное распределение носителей тока в образце, которое устанавливается при наложении электрического поля в результате соударения носителей и рассеяния их на границах образца.
Для одномерной металлической пленки толщиной d с осью z, перпендикулярной пленке, уравнение можно записать в виде
, (5.2)
где f 0– равновесная функция распределения электронов;
f1 – дополнительная функция, зависящая от скорости движения электрона и координаты.
Таким образом, при наличии размерных эффектов в уравнении (5.2) появляются члены, зависящие от координат, т. к. распределение электронов проводимости в пространстве будет неоднородным.
Указанная теория дает сложную зависимость между удельным сопротивлением и ее толщиной. Однако формула эффекта существенно упрощается для двух крайних случаев:
|
|
1) толщина пленки d значительно меньше длины свободного пробега электронов, т. е. d/ l <<1;
2) толщина пленки d значительно больше длины свободного пробега электрона, т. е. d/ l >>1.
Решение уравнения Больцмана проводится с учетом граничных условий:
1) каждый свободный пробег электрона заканчивается столкновением с поверхностью;
2) функция распределения электронов, покидающих поверхность, не зависит от направления;
3) релаксационный процесс на поверхности протекает также как и в объеме.
Первое условие соответствует модели диффузного рассеяния, т. е. протекающего с полной потерей дрейфовой составляющей скорости. Введя обозначение и сделав ряд математических преобразований, получим формулу размерного эффекта для этих двух случаев:
, дляγ >> 1, (5.3)
и
, дляγ << 1 , (5.4)
где – удельная электропроводность (сопротивление) массивного образца;
– удельная электропроводность (сопротивление) пленки.
Диффузное рассеяние – идеальный случай. На практике часто наблюдается зеркальное рассеяние на поверхности части электронов. Если обозначить через m часть электронов, которые зеркально рассеиваются на поверхности с обращением знака компоненты скорости в направлении оси z, то величина 1– m будет представлять часть электронов, рассеиваемых диффузно.
С учетом величины m, получаем
, для , (5.5)
и
, для , m <1. (5.6)
Соотношение (5.6) справедливо только для малых значений m и γ < 0,1.
Как показывают расчеты, уравнение (5.5) с достаточной степенью точности справедливо для значений γ вплоть до 0,1.
Электроны проводимости рассеиваются в пленке не только на ее поверхностях и решетке, но также на различных дефектах кристаллической структуры и примесях. В общем случае можно записать
ρ = ρр + ρп + ρд . (5.7)
В выражении 5.7 слагаемые представляют собой вклады в общее сопротивление соответственно за счет рассеяния на решетке, на поверхностях пленки и на дефектах кристаллической структуры. Величина ρд очень сильно зависит от параметров процесса нанесения пленки и в определенных случаях может значительно превышать ρр и ρп. Это особенно важно учитывать в том случае, если пленка чувствительна к процессам окисления и загрязнения.
Теория Фукса применима только в том случае, если зависимость проводимости пленки от толщины обусловлена ограничением длины свободного пробега геометрическими размерами.
Обработка экспериментальных результатов при изучении размерного эффекта может проводиться различными способами. Обычно заранее полагают m = 0 и определяют l из уравнения (5.5) экспериментально, снимая зависимость ρ d = f (d). Однако значения длины свободного пробега в этом случае поучаются заниженными. Для одновалентных металлов со сферичной поверхностью Ферми возможно, одновременно обрабатывая уравнения (5.5) и (5.6), оценить значения длины свободного пробега l, параметры зеркальности m и концентрация электронов ne [1]. Для таких металлов уравнения (5.5) и (5.6) переписываются в виде
, γ >> 1, (5.8)
, γ << 1. (5.9)
Уравнение (5.8) при значении γ < 0,5 дает отклонение порядка нескольких процентов, а уравнение (5.9) при γ > 5 имеет погрешность порядка 0,01 %. Определение параметров размерного эффекта осуществляется путем измерения удельного сопротивления ρ пленок в широком диапазоне толщин. Измеряя ρ и d пленок, строят зависимость
1/ρ d = f (lg d). (5.10)
|
|
График такой зависимости должен представлять собой кривую с выраженным прямолинейным участком (рис. 5.1). Из точки А, полученной пересечением прямой с осью абсцисс, определяется значение l, т. к. согласно уравнению (5.8) его левая часть будет равна нулю. Тогда будет выполняться соотношение
(5.11)
откуда и находится величина l.
Рис. 5.1. Зависимость 1/ρ d = f (lg d)
Далее строится зависимость ρ d = f (d) (рис. 5.2). В точке В (пересечение прямой с осью абсцисс) величина ρ d = 0. Поэтому приравняв левую часть уравнения (5.9) нулю, получим
. (5.12)
Подставляя в формулу (5.12) определенную ранее величину l находим значение величины m.
Рис. 5.2. Зависимость ρ d = f (d)